Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго

Неделя 13

Лекция 25

Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными

Коэффициентами

Имеем линейное однородное дифференциальное уравнение

(1)

где и - постоянные действительные числа. Чтобы найти общий интеграл этого уравнения, найдем два линейно независимых частных решения.

Будем искать частные решения в виде

где . (2)

Тогда

Подставляя в уравнение (1), получим:

Так как то (3)

Уравнение (3) называется характеристическим уравнением уравнения (1).

Решая характеристическое уравнение (3), получим

Здесь могут представиться три различных случая.

Случай 1. Корни характеристического уравнения действительны и различны: если В этом случае частными решениями будут функции

Эти решения линейно независимы, так как

Следовательно, общий интеграл имеет вид

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид

Решая его, находим его корни:

Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Решая характеристическое уравнение

Находим его корни: Общее решение исходного уравнения имеет вид

Случай 2. Корни характеристического уравнения действительные и равные: при

Тогда Поэтому одно частное решение уравнения (1) будет

Всякое другое частное решение , линейно независимое с , обязательно должно иметь вид

где - некоторая функция от не являющаяся тождественно постоянной. Отсюда

Дифференцируя по дважды и подставляя в уравнение (1) и сокращая на общий множитель а также решая, получим

где и - произвольные постоянные. Следовательно,

Так как мы интересуемся частным решением, то можно принять и Тогда

Таким образом, общее решение уравнения (1) будет функция

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Корнями характеристического уравнения

являются Тогда общее решение исходного уравнения запишется в виде

Случай 3. Корни характеристического уравнения – комплексные.

Так как комплексные корни входят попарно сопряженными, то обозначим:

где

Частные решения можно записать в форме:

Отсюда, окончательно получим:

где и - произвольные постоянные.

Пример 1. Дано уравнение

Найти общий интеграл и частное решение, удовлетворяющее условиям:

Решение. Напишем характеристическое уравнение

И найдем его корни:

Следовательно, общий интеграл:

Найдем частное решение, удовлетворяющее данным начальным условиям, и определим значения и На основании первого условия находим:

откуда

Таким образом, искомое частное решение есть

Пример 2. Дано уравнение

Найти общий интеграл и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям

Решение. Напишем характеристическое уравнение

Находим его корни:

Общий интеграл есть

Найдем частное решение. Предварительно найдем:

Постоянные и определяются из начальных условий:

Они равны:

Частное решение:

Линейные однородные уравнения -го порядка с постоянными

Коэффициентами

Линейным однородным дифференциальным уравнением -го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение

(1)

где коэффициенты - постоянные.

Общее решение линейного однородного уравнения (1)имеет вид

(2)

где - линейно независимые частные решения (фундаментальная система решений) этого уравнения, а - произвольные постоянные

Для отыскания общего решения уравнения (1) составляется характеристическое уравнение

(3)

Тогда общее решение уравнения (1) строится в зависимости от характера корней уравнения (3):

1) каждому действительному однократному (т.е. простому) корню в общем решении соответствует слагаемое вида

2) каждому действительному корню кратностью в общем решении соответствует слагаемое вида

3) каждой паре комплексных напряженных однократных корней и в общем решении соответствует слагаемое вида

4) каждой паре комплексных сопряженных корней и кратности в общем решении соответствует слагаемое вида

Пример 1. Найти общее решение уравнения

Решение. Составим характеристическое уравнение: Раскладывая левую часть уравнения на множители, имеем:

или

Следовательно, Так как корни характеристического уравнения действительные и различные, то общее решение данного дифференциального уравнения имее вид:

Пример 2. Найти общее решение уравнения

Решение. Составим характеристическое уравнение:

Раскладывая левую часть на множители, имеем:

Решая, находим: Таким образом, характеристическое уравнение имеет один простой и один двукратный корень. Следовательно, общее решение дифференциального уравнения запишется в таком виде: