Здавалка
Главная | Обратная связь

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго



Неделя 13

Лекция 25

Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными

Коэффициентами

Имеем линейное однородное дифференциальное уравнение

(1)

где и - постоянные действительные числа. Чтобы найти общий интеграл этого уравнения, найдем два линейно независимых частных решения.

Будем искать частные решения в виде

где . (2)

Тогда

Подставляя в уравнение (1), получим:

Так как то (3)

Уравнение (3) называется характеристическим уравнением уравнения (1).

Решая характеристическое уравнение (3), получим

Здесь могут представиться три различных случая.

Случай 1. Корни характеристического уравнения действительны и различны: если В этом случае частными решениями будут функции

Эти решения линейно независимы, так как

Следовательно, общий интеграл имеет вид

.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид

Решая его, находим его корни:

Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Решая характеристическое уравнение

Находим его корни: Общее решение исходного уравнения имеет вид

Случай 2. Корни характеристического уравнения действительные и равные: при

Тогда Поэтому одно частное решение уравнения (1) будет

Всякое другое частное решение , линейно независимое с , обязательно должно иметь вид

где - некоторая функция от не являющаяся тождественно постоянной. Отсюда

Дифференцируя по дважды и подставляя в уравнение (1) и сокращая на общий множитель а также решая, получим

и

где и - произвольные постоянные. Следовательно,

Так как мы интересуемся частным решением, то можно принять и Тогда

Таким образом, общее решение уравнения (1) будет функция

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Корнями характеристического уравнения

являются Тогда общее решение исходного уравнения запишется в виде

Случай 3. Корни характеристического уравнения – комплексные.

Так как комплексные корни входят попарно сопряженными, то обозначим:

где

Частные решения можно записать в форме:

Отсюда, окончательно получим:

где и - произвольные постоянные.

Пример 1. Дано уравнение

Найти общий интеграл и частное решение, удовлетворяющее условиям:

Решение. Напишем характеристическое уравнение

И найдем его корни:

Следовательно, общий интеграл:

Найдем частное решение, удовлетворяющее данным начальным условиям, и определим значения и На основании первого условия находим:

откуда

Таким образом, искомое частное решение есть

Пример 2. Дано уравнение

Найти общий интеграл и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям

Решение. Напишем характеристическое уравнение

Находим его корни:

Общий интеграл есть

Найдем частное решение. Предварительно найдем:

Постоянные и определяются из начальных условий:

Они равны:

Частное решение:

 

Линейные однородные уравнения -го порядка с постоянными

Коэффициентами

 

Линейным однородным дифференциальным уравнением -го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение

(1)

где коэффициенты - постоянные.

Общее решение линейного однородного уравнения (1)имеет вид

(2)

где - линейно независимые частные решения (фундаментальная система решений) этого уравнения, а - произвольные постоянные

Для отыскания общего решения уравнения (1) составляется характеристическое уравнение

(3)

Тогда общее решение уравнения (1) строится в зависимости от характера корней уравнения (3):

1) каждому действительному однократному (т.е. простому) корню в общем решении соответствует слагаемое вида

2) каждому действительному корню кратностью в общем решении соответствует слагаемое вида

3) каждой паре комплексных напряженных однократных корней и в общем решении соответствует слагаемое вида

4) каждой паре комплексных сопряженных корней и кратности в общем решении соответствует слагаемое вида

Пример 1. Найти общее решение уравнения

Решение. Составим характеристическое уравнение: Раскладывая левую часть уравнения на множители, имеем:

или

Следовательно, Так как корни характеристического уравнения действительные и различные, то общее решение данного дифференциального уравнения имее вид:

Пример 2. Найти общее решение уравнения

Решение. Составим характеристическое уравнение:

Раскладывая левую часть на множители, имеем:

Решая, находим: Таким образом, характеристическое уравнение имеет один простой и один двукратный корень. Следовательно, общее решение дифференциального уравнения запишется в таком виде:

Пример 3. Найти общее решение уравнения

Решение. Этому уравнению соответствует характеристичсекое уравнение: или

Отсюда, Характеристичсекое уравнение имеет два действительных и два комплексных корня (все они простые).

Общее решение дифференциального уравнения запишется в виде:

Пример 4. Найти общее решение уравнения

Решение. Данному уравению соответствует арактеристичсекоеуравнение: или

имеющее двукратные комплексные корни Следовательно, общее решение дифференциального уравнения записывается в таком виде:

 

Лекция 26

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.