Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второгоСтр 1 из 4Следующая ⇒
Неделя 13 Лекция 25 Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными Коэффициентами Имеем линейное однородное дифференциальное уравнение (1) где и - постоянные действительные числа. Чтобы найти общий интеграл этого уравнения, найдем два линейно независимых частных решения. Будем искать частные решения в виде где . (2) Тогда Подставляя в уравнение (1), получим: Так как то (3) Уравнение (3) называется характеристическим уравнением уравнения (1). Решая характеристическое уравнение (3), получим Здесь могут представиться три различных случая. Случай 1. Корни характеристического уравнения действительны и различны: если В этом случае частными решениями будут функции Эти решения линейно независимы, так как Следовательно, общий интеграл имеет вид . Пример 1. Решить уравнение Решение. Характеристическое уравнение имеет вид Решая его, находим его корни: Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид Пример 2. Решить уравнение Решение. Решая характеристическое уравнение Находим его корни: Общее решение исходного уравнения имеет вид Случай 2. Корни характеристического уравнения действительные и равные: при Тогда Поэтому одно частное решение уравнения (1) будет Всякое другое частное решение , линейно независимое с , обязательно должно иметь вид где - некоторая функция от не являющаяся тождественно постоянной. Отсюда Дифференцируя по дважды и подставляя в уравнение (1) и сокращая на общий множитель а также решая, получим и где и - произвольные постоянные. Следовательно, Так как мы интересуемся частным решением, то можно принять и Тогда Таким образом, общее решение уравнения (1) будет функция Пример 1. Решить уравнение Решение. Корнями характеристического уравнения являются Тогда общее решение исходного уравнения запишется в виде Случай 3. Корни характеристического уравнения – комплексные. Так как комплексные корни входят попарно сопряженными, то обозначим: где Частные решения можно записать в форме: Отсюда, окончательно получим: где и - произвольные постоянные. Пример 1. Дано уравнение Найти общий интеграл и частное решение, удовлетворяющее условиям: Решение. Напишем характеристическое уравнение И найдем его корни: Следовательно, общий интеграл: Найдем частное решение, удовлетворяющее данным начальным условиям, и определим значения и На основании первого условия находим: откуда Таким образом, искомое частное решение есть Пример 2. Дано уравнение Найти общий интеграл и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям Решение. Напишем характеристическое уравнение Находим его корни: Общий интеграл есть Найдем частное решение. Предварительно найдем: Постоянные и определяются из начальных условий: Они равны: Частное решение:
Линейные однородные уравнения -го порядка с постоянными Коэффициентами
Линейным однородным дифференциальным уравнением -го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение (1) где коэффициенты - постоянные. Общее решение линейного однородного уравнения (1)имеет вид (2) где - линейно независимые частные решения (фундаментальная система решений) этого уравнения, а - произвольные постоянные Для отыскания общего решения уравнения (1) составляется характеристическое уравнение (3) Тогда общее решение уравнения (1) строится в зависимости от характера корней уравнения (3): 1) каждому действительному однократному (т.е. простому) корню в общем решении соответствует слагаемое вида 2) каждому действительному корню кратностью в общем решении соответствует слагаемое вида 3) каждой паре комплексных напряженных однократных корней и в общем решении соответствует слагаемое вида 4) каждой паре комплексных сопряженных корней и кратности в общем решении соответствует слагаемое вида Пример 1. Найти общее решение уравнения Решение. Составим характеристическое уравнение: Раскладывая левую часть уравнения на множители, имеем: или Следовательно, Так как корни характеристического уравнения действительные и различные, то общее решение данного дифференциального уравнения имее вид: Пример 2. Найти общее решение уравнения Решение. Составим характеристическое уравнение: Раскладывая левую часть на множители, имеем: Решая, находим: Таким образом, характеристическое уравнение имеет один простой и один двукратный корень. Следовательно, общее решение дифференциального уравнения запишется в таком виде: Пример 3. Найти общее решение уравнения Решение. Этому уравнению соответствует характеристичсекое уравнение: или Отсюда, Характеристичсекое уравнение имеет два действительных и два комплексных корня (все они простые). Общее решение дифференциального уравнения запишется в виде: Пример 4. Найти общее решение уравнения Решение. Данному уравению соответствует арактеристичсекоеуравнение: или имеющее двукратные комплексные корни Следовательно, общее решение дифференциального уравнения записывается в таком виде:
Лекция 26 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|