Пусть правая часть имеет вид
Где P(x) и Q(x) – многочлены от х , это форма от частного решения зависящее от правой части определяется так: а ) если число
где u(x) и v(x)- многочлены, степень которых равна наивысшей степени многочленов б ) если число
где u(x) и v(x)- многочлены, степень которых равна наивысшей степени многочленов Указанные формы частных решений (8) и (9), сохраняются и в этом случае, когда в правой части уравнения (7) один из многочленов
Полезно рассмотреть отдельно , важный частный случай, т.е. когда правая часть линейного уравнения второго порядка имеет вид
где M,N-постоянные числа. а ) Если
б ) Если
Отметим, что функция (10) является частным случаем функции (7) Пример 3.Найти общее решение уравнения
Решение. Находим
Переходим к отысканию частного решения отвечающее правой части данного уравнения, которая имеет вид (7), где Число Поэтому частное решение
Подставим выражения
Сравнивая коэффициенты при xcosx, cosx, xsinx и sinx, имеем Решая систему уравнений имеем А=1, B=0,C=0,D= Таким образом,
Итак, общее решение данного уравнения имеет вид:
Пример 4. Найти общее решение уравнения
Решение. Характеристическое уравнение имеет корни
Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде (9), т.к.
Тогда, Подставляя эти выражения производных в данное уравнение и приравнивая коэффициенты при cos2x и sin2x, получаем систему уравнений для определения A и B: 4В=1, -4А=0, откуда А=0, В=
Итак, общее решение этого уравнения имеет вид
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|