 |
|
Приклади для самостійного розв’язання
Знайти обернені матриці для матриць:
1. 
. 2. 
. 3. 
.
4. 
. 5. 
. 6. 
.
7. 
.
Відповіді:
1. 
. 2. 
3. 
.
4. 
. .5. 
. 6. 
7. 
.
Розв’язування систем лінійних рівнянь
Матричним способом
Обмежимось розглядом системи 3-х лінійних рівнянь
Запишемо такі матриці:
,
де 
складена з коефіцієнтів при невідомих — матриця системи, 
– матриця вільних членів, 
– матриця невідомих. Знайдемо добуток
Користуючись означенням рівності матриць, ми бачимо, що система ЛР (1) є не що інше, як рівність відповідних елементів матриць – стовпців 
і . Тому початкова система (1) набуває форму матричного рівняння
Для розв’язання останнього домножимо зліва рівняння (2) на обернену матрицю 
, вважаючи, що 
, отримаємо
Але 
, а 
, тоді розв’язок матричного рівняння (2) запишеться
(3)
Покажемо, що з формули (3) можна отримати формули Крамера. Дійсно, підставляючи в (3) вирази для і , маємо
За теоремою про заміщення кожний елемент останньої матриці дорівнює значенням допоміжних визначників 
, які були введені при розв’язуванні систем за формулами Крамера. Тому далі маємо
Звернемо увагу на те, що в формулі (3) співмножник , залежить тільки від коефіцієнтів при невідомих, а тільки від вільних членів. Тому, коли приходиться розв’язувати системи вигляду (1) з однаковими лівими частинами і різними вільними членами, то в таких випадках матричний розв’язок (3) стає зручнішим: обернену матрицю знаходимо тільки один раз і перемножуємо на нову матрицю . В той же час, за формулами Крамера прийшлося б заново обчислювати допоміжні визначники відповідно для кожного нового набору вільних членів.
Приклад 1.Розв’язати систему рівнянь матричним способом
Складемо матрицю системи
Для цієї матриці в 1.12. ми вже знайшли 
і обернену матрицю
Тому згідно (3) маємо
Отже, 
Пропонуємо перевірити відповідь.