Основне рiвняння квантової механiки – рiвняння Шредiнгера
Рiвняння, що описує рух мiкрочастинки, повинне вiдтворювати її хвильовi властивостi, тобто повинне бути подiбним до хвильового рiвняння, що описує розповсюдження оптичних або акустичних хвиль (див. рівняння (3.58) в першому томі): . (9.8) Ми можемо мiркувати таким чином: якщо мiкрочастинка, яка рухається, має хвильовi властивостi i може бути охарактеризована довжиною хвилi, то її стан можна описати за допомогою деякої функцiї Y, яка повинна задовольняти хвильове рiвняння (9.8), тобто: . (9.9) Функцiя, що задовольняє хвильове рiвняння, може бути подана у такому виглядi: Y = y(х) sinw t. Знайдемо відповідні частиннi похiднi, а саме: i пiдставимо їх в рiвняння (9.9), що в результатi дає . Враховуючи зв’язок мiж частотою і періодом , а також зв’язок мiж довжиною хвилі, швидкістю і періодом T i формулу (9.4) для довжини хвилі де Бройля, вiдношення w2/u2 можна подати таким чином: Тодi рiвняння (9.9) набуває такий вигляд: (9.10) де Еk – кiнетична енергiя частинки. Рiвняння (9.10) описує одновимiрний рух частинки. У випадку, коли частинка рухається в тривимірному просторi, рiвняння (9.10) матиме вигляд: , (9.11) або (9.12) де – так званий оператор Лапласа, який діє на хвильову функцію і дорівнює сумі всіх других просторових похідних від . Рiвняння (9.12) описує рух вiльної частинки. Якщо частинка рухається в силовому полi, то її повна енергiя дорiвнює сумi кiнетичної та потенцiальної енергiй: Е = Ek + En , звiдки Еk = Е – Еn. У цьому випадку рiвняння (9.12) записується таким чином: (9.13) Рiвняння (9.13) – стацiонарне рiвняння Шредiнгера, запропоноване ним у 1926 році. Це рiвняння описує поведiнку електрона в атомi (тобто електрона, що рухається в полi ядра). Хвильова функцiя y(x, y, z), яка є розв’язком рiвняння Шредiнгера, не залежить вiд часу і характеризує стацiонарнi стани системи. Спiввiдношення мiж y-функцiєю та частинкою, яку вона описує, аналогiчне спiввiдношенню мiж свiтловою хвилею та фотоном. Квадрат амплiтуди свiтлової хвилi А2 визначає ймовiрнiсть попадання фотона у вiдповiдну точку простору. Як показав М. Борн, квадрат амплiтуди хвильової функцiї |y|2 характеризує ймовiрнiсть знаходження частинки в данiй точцi простору, а |y|2dv – ймовiрнiсть знаходження частинки в елементi об’єму dv. Таким чином, фiзичний змiст має не сама хвильова функцiя, а її квадрат. Слiд відзначити, що, на вiдмiну вiд оптичних хвиль, y-функцiя характеризує не електромагнiтну хвилю, а хвилю ймовiрностi. ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|