 |
|
Розрахуємо довжину хвилi де Бойля для електрона
.
Вiдповiдь: lк = 6.62 × 10–33 м; lе = 7.3 × 10–6 м.
Зауваження: для кульки, що рухається, довжина хвилi настiльки мала, що не може бути вимiряна нiякими експериментальними методами, в той час як для електрона вимiрювання l можна здiйснити по дифракцiйній картині, що одержується на просторових структурах – кристалiчних решітках.
2. Електронний мiкроскоп, його межа розрiзнення.
Задача 2.
Знайти межу розрiзнення електронного мiкроскопа, якщо прискорююча напруга Dj = 100 кВ, а кутова апертура q = 10–2 рад.
Еталон розв’язку.
Межа розрiзнення мiкроскопа визначається довжиною хвилi l випромiнювання, яке використовується, числовою апертурою А = nsinq i може бути розрахована за формулою:
.
“Освiтлення” об’єкта в електронному мiкроскопi здiйснюють електронним пучком. Довжина хвилi, що характеризує електрони пучка, визначається швидкiстю їх руху
.
Швидкiсть електронів може бути визначена з умови, що кiнетична енергiя електрона дорiвнює роботi електричного поля по перемiщенню заряду електрона, а саме:
.
Враховуючи всі наведені вище формули та співвідношення sinq » q для малих кутів, для межі розрізнення електронного мікроскопу отримаємо
Вiдповiдь: Z = 0.094 нм.
3. Спiввiдношення невизначеностей Гейзенберга.
Задача 3.
Пучок електронiв рухається вздовж електронно-променевої трубки зi швидкiстю 
= 108 cм/с. Швидкiсть визначена з точнiстю до 0.01%. Чи має сенс поняття траєкторiї руху електронiв у трубцi?
Еталон розв’язку.
Спiввiдношення невизначеностей Гейзенберга дозволяє встановити точнiсть у визначеннi координати електрона
.
За умовою задачi D х = 10–4u = 102 м/с. Звідси маємо
.
Вiдповiдь: Одержане значення Dх = 10-4см = 1 мкм свiдчить про те, що координата електрона може бути визначена з достатньо високою мiрою точностi. Таким чином, поняття траєкторiї руху електронiв в трубці має сенс.
Задача 4.
Тривалiсть збудженого стану атома водню вiдповiдає значенню Dt = 10–3 с. Чому дорiвнює за цих умов невизначенiсть енергії збудженого енергетичного рiвня?
Еталон розв’язку.
Тривалiсть життя атома у збудженому станi Dt i невизначенiсть значення енергiї даного стану пов’язанi спiввiдношенням Гейзенберга:
DЕ × Dt ³ 
,
звідки
.
Вiдповiдь: DЕ = 1.05 × 10–26 Дж.
4. Квантовi числа, їх фiзичний змiст
Задача 5.
Знайти значення енергiї та орбiтального моменту iмпульса електрона в атомi водню, що вiдповiдають станам: 1S, 2S, 3S.
Еталон розв’язку.
Енергiя електрона в атомi водню у вiдповідностi до розв’язку рiвняння Шредiнгера може приймати значення
де n – головне квантове число, R = 3.3×1015 с–1 – стала Рiдберга.
| Стан | n | E |
| 1s | –Rh | |
| 2s | –Rh/4 | |
| 2p | –Rh/4 |
Вiдповiдно до уявлень квантової механiки орбiтальний момент iмпульса електрона визначається значенням орбiтального квантового числа l за формулою
.
| Стан | l | Lорб |
| 1s | ||
| 2s | ||
| 2p | 
|
Вiдповiдь: Для стану 1S: E = –Rh = –3.3×1015×6.63×10–34 = = –21.9×10–19 Дж, Lорб = 0;
Для стану 2S: E = –Rh/4 = –5.48×10–19Дж, Lорб = 0;
Для стану 2p: E = –Rh/4 = –5.48×10–19 Дж, Lорб = =
= 1.05×10–34×1.4 = 1.47×10–34 Дж× с.
5. Атомнi спектри
Задача № 6.
Знайти границi серiї Бальмера (в частотах та довжинах хвиль). Спiвставити цi данi з iнтервалом частот та довжин хвиль свiтла у видимому дiапазонi.
Еталон розв’язку.
Серiя Бальмера вiдповiдає переходам електрона на енергетичний рiвень з головним квантовим числом n = 2 з усiх вище розташованих рiвнiв. Частоти цiєї серiї можуть бути розрахованi за формулою:
v = R (1/22 – 1/nk2),
де nk = 3, 4, 5, …, а R = 3.3×1015 с–1 – стала Рiдберга. Границi серiї Бальмера визначаються такими значеннями:
при nk = 3 найменша частота дорівнює
vгр1 = R (1/22 – 1/32) = 0.46×1015 с--1;
при nk = ¥ гранична лінія має частоту
vгр2 = R (1/22 – 1/¥2) = 0.82×1015 с–1.
Відповідні довжини хвиль дорівнюють
lгр1 = с/vгр1 = 3×108 / 0.46×1015 = 6.52×10–7 м = 652 нм,
lгр2 = с/vгр2 = 3×108 / 0.82×1015 = 3.66×10–7 м = 366 нм.
Вiдповiдь: для серії Бальмера
0.46×1015 с–1 < nБ < 0.82×1015 с–1 та 366 нм < lБ < 652 нм, тоді як для видимого дiапазону 400 нм < l < 760 нм.
Задача № 7.
Вважаючи, що в збудженому станi атом водню перебуває протягом часу Dt = 10–8 с, визначити пiвширину лiнiї Dl в серiї Бальмера, що вiдповiдає переходу з третього рiвня на другий.
Еталон розв’язку.
Використовуючи спiввiдношення невизначеностей Гейзенберга, визначимо “розмитiсть” DЕ енергетичного рівня, що вiдповiдає збудженому стану:
При переходi атома зі збудженого рівня, що має енергію Е ± DЕ, на нижчий рiвень з енергією Е0 випромiнюється фотон з енергією
hv = (E ± DE) – E0 = (E – E0) ± DE .
Таким чином, частота фотона, що випромiнюється, має невизначенiсть, яка дорівнює
Dv = DE/h,
тобто лiнiї спектра мають скiнчену ширину v ± Dv в частотному діапазоні або l ± Dl в діапазоні довжин хвиль.
Довжина хвилi пов’язана з частотою спiввiдношення
l = с/n. Диференціюючи цю рiвнiсть i враховуючи результат попередньої задачі щодо частоти переходу з третього рiвня на другий в серії Бальмера, одержимо шукану величину Dl:
Dl » dl = (c/v2)Dv = (c/v2)×DE/ = (c/v2)× /2p Dt = c/2pv2Dt = = 3×108/2×3.14×(0.46×1015)2×10–8 = 2.38×10–5 нм.
Вiдповiдь: Dl = 2.38×10–5 нм.
Завдання для перевiрки кiнцевого рiвня знань
1. Записати рiвняння Шредiнгера для атома водню.
2. Визначити границi серiї Лаймана i вказати, в якiй областi спектра лежить вказана серiя?
3. Розрахувати орбiтальний момент iмпульсу електрона в станi 3р.
4. Знайти межу розрiзнення електронного мiкроскопа з кутовою апертурою q = 10–2 рад.
5. Розрахувати енергiю атома водню, якщо електрон знаходиться в станi 3S.
6. Середня тривалiсть життя молекули в збудженому станi дорівнює 10–8 с. Система випромiнює світло, яке має довжину хвилi l = 610 нм. Чому дорiвнює невизначенiсть довжинi хвилi Dl?
7. Розрахувати довжину хвилi де Бройля для електрона, який пройшов прискорюючу напругу Dj = 100 В.
8. Вказати максимальну кiлькiсть електронiв у багатоелектронному атомi, що може знаходитись на різних пiдрiвнях та шарах атома.
9. Електрон пролiтає щiлину шириною Dх = 1 мкм. З якою похибкою може бути визначена складова iмпульса вздовж вiсi х пiд час прольоту щiлини?
10. Записати електроннi конфiгурацiї для атомiв азота та вуглецю.
11. Вiдобразити графiчно (в декартових координатах) орбiталi електрона, якi характеризуються значеннями орбiтального квантового числа l = 0, 1, 2.
12. Знайти проекцiї орбiтального момента електрона на напрямок зовнiшнього магнiтного поля, який характеризується орбiтальним квантовим числом l = 2.
13. Вказати можливi значення проекцiї спiна електрона на напрямок зовнiшнього магнiтного поля.
14. Середня тривалiсть життя молекули в збудженому станi дорiвнює 10–8 с. Система випромiнює світло з частотою v =
= 0.46×1015 с–1. Вказати невизначенiсть частоти Dv.
9.6.2. Лабораторна робота “Застосування фотоелемента для вимiру освiтленостi та визначення його чутливостi”
Мета роботи: Ознайомитись з принципом дiї вентильного фотоелемента. Визначити iнтегральну чутливiсть фотоелемента. Навчитися використовувати фотоелемент для вимiру освiтленостi.
Прилади та обладнання: Лабораторна установка, що вмiщує: селеновий фотоелемент, оптичну лаву, лампу розжарювання, мiкроамперметр.
Питання для підготовки до лабораторної роботи
1. Зовнішній фотоефект.
2. Закони зовнішнього фотоефекту.
3. Застосування зовнішнього фотоефекту.
4. Фотоефект в напівпровідниках.
5. Застосування внутрішнього фотоефекту.