Единственность предела функции.
Теорема: Если функция имеет предел при x®a, то он единственен. Док-во: Предположим противное. Пусть у функции существуют два предела при x®a и . Возьмем e>0 так, чтобы окрестности точек A и B не пересекались. По определению предела функции: существует такое d>0, что из |x-a|<d следует |f(x)-A|<e, |f(x)-B|<e, т.е. значения f(x) лежат одновременно в e-окрестности точки A и e-окрестности точки B, чего быть не может, т.к. окрестности не пересекаются, полученное противоречие доказывает теорему. Ч.т.д.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Иx свойства.
Определение: Функция a(x) называется бесконечно малой при x®x0, если . Обозначается a(x) – б/м при x®x0. Функция a(x) – б/м при x®x0, если " >0 $d>0: из |x-x0| <d Þ |a(х)|< . Определение: Функция y=f(x) называется ограниченной, если существует такое число M >0, что |f(x)| М при " . Определение: Функция f(x) называется бесконечно большой при x®x0, если . Обозначается f(x) ‒ б/б при x®x0. Функция f(x) ‒ б/б при x®x0, если для любого А>0 найдется d>0: из неравенства |x-x0|<d следует неравенство |f(x)|>А. В качестве x0 может быть конечное число, ±¥ или ¥.
Свойства. 1. Сумма двух или конечного числа б/м есть бесконечно малая. 2. Произведение двух или конечного числа б/м есть бесконечно малая. 3. Произведение б/м на ограниченную функцию есть б/м. Замечание: Частное двух б/м является неопределенностью вида . 4. Сумма конечного числа б/б есть б/б. 5. Произведение конечного числа б/б есть б/б. 6. Произведение б/б на любую не б/м есть б/б. Замечание: Разность двух б/б является неопределенностью вида (¥-¥). Замечание: Частное двух б/б является неопределенностью вида . Замечание: Произведение б/б на б/м является неопределенностью вида . 7. Частное от деления б/б на ограниченную функцию есть б/б. 8. Б/м и б/б ‒ взаимообратные функции. Док-во: 1) б/м есть обратная величина для б/б. . Пусть f(x) – б/б при x®x0. Тогда по определению б/б: для любого A>0 такое, что из неравенства |x-x0| <d будет следовать неравенство |f(x)| >A. Перейдем к обратным величинам: |1/f(x)| < 1/A Þ б/м по определению. 2) б/б есть обратная величина для б/м. Пусть a(x) – б/м при x®x0. Тогда по определению: " >0 $ d>0 такое, что из неравенства |x-x0|<d Þ неравенство |a(x)|< . Перейдем к обратным величинам: |1/a(x)| > 1/ , что означает по определению, что 1/a(x) – б/б величина. Ч.т.д.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|