Главная | Обратная связь

Теоремы о предельном переходе в неравенствах.

 

Теорема 1. Теорема о «двух милиционерах».

Пусть заданы 3 функции f(x), j(x), g(x) такие, что f(x)£j(x)£g(x). Тогда если

 

 

Док-во: Вычтем А из всех частей неравенства f(x)£j(x)£g(x):

f(x)-A£j(x)-A£g(x)-A.

По теореме о представлении функции, имеющей предел: f(x)=A+a(x), g(x)=A+b(x), где a(x) и b(x) являются б/м. Между двумя б/м может находиться только б/м Þ по теореме о представлении функции, имеющей предел: .

Ч.т.д.

Теорема 2: Пусть функция f(x)³0 и существует конечный предел . Тогда A³0.

Док-во: Предположим противное: A<0. Тогда окрестность точки A лежит по оси ОY ниже начала координат. Þ В этой окрестности f(x)<0, чего быть не может.

Ч.т.д.

Теорема 3: Если f(x)³g(x) и

 

 

Док-во: Из неравенства f(x)³g(x) Þ f(x)-g(x)³0. По предыдущей теореме и арифметическим операциям Þ A³B.

Ч.т.д.

 

Первый замечательный предел.

Доказательство:

Рассмотрим единичную окружность и отложим бесконечно малый угол x.

х

у

А

В

С

х

Пусть т.е. принадлежит 1 четверти.

Очевидны следующие неравенства:

Вернемся к неравенствам:

Перейдем к обратным выражениям:

Левая часть неравенства 1 1, т.к.

Правая часть неравенства

По теореме «о двух милиционерах»:

Аналогично при х<0:

 

Вместо x может быть любая б/м при х х₀, тогда

Ч.т.д.

 

Пример:

1)

2)

3)

 

Второй замечательный предел.

Доказательство:

Вспомним число как предел числовой последовательности:

I случай.

Пусть х>1, возьмем n=[x] – целая часть числа х.

n х<n+1.

Перейдем к обратному выражению:

Возведем в степень:

Вычислим предел левой и правой части двойного неравенства:

 

По теореме «о двух милиционерах»:

II случай.

Пусть х<-1: проведем аналогичные рассуждения и сделаем замену –х=y, получим:

.

Ч.т.д.

 

Второй замечательный предел для функций:

 

Пример:

1) =

2) =

 

Следствия из второго замечательного предела.

 

1.

Док-во:

Ч.т.д.

 

2.

Частный случай:

 

3.