 |
|
Геометрический смысл производной.
На графике функции 
возьмем точку М0 с координатами (x0,y0) и точку N с координатами ( 
; 
). Проведем через эти точки секущую.
| x0 |
x0+  x
|
| y(x0+Dx) |
| y0=y(x0) |
в точке M0(x0,y0) называется предельное положение секущей M0N, когда точка N стремится к точке M0 по графику.
С одной стороны tga является угловым коэффициентом секущей, с другой стороны из прямоугольного треугольника: 
.
Когда точка N®M по графику, тогда приращение
аргумента Dx®0, при этом угловой коэффициент
касательной 
.
Переходя к пределу при 
,
получаем 
.
Геометрический смысл производной заключается в следующем: производная функции в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой x0.
.
Физический смысл производной.
Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону S=S(t), где t ‒ время, S ‒ координата точки на оси.
Физический смысл производной заключается в следующем: Производная – это мгновенная скорость изменения функции.
Vмгн=S'(t).
Правила вычисления производной.
1. 
.
Док-во:
Дадим x приращение Dx, 
. Тогда функция получит приращение Dy. Отсюда 
. Так как 
, то 
. Þ (C)¢=0.
Ч.т.д.
2. Если функции u и v имеют конечные производные, то производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных: 
.
Док-во:
Дадим x приращение Dx, . Тогда функция 
получит приращение 
. Отсюда 
= 
= 
.
Þ 
= 
= 
.
Ч.т.д.
3. Если функции u и v имеют конечные производные, то производная произведения находится по формуле: 
.
Доказывается аналогично второму.
Следствие: Константу можно выносить за знак произведения: 
.
4. Если функции u и v имеют конечные производные, то производная частного находится по формуле: 
, где v¹0.
Таблица простейших производных.
| Степенные функции | |||
| 
| 
| 
|
| Показательные функции | Логарифмические функции | ||
| 
| 
| 
|
| Тригонометрические функции | |||
| 
| 
| 
|
| Обратные тригонометрические функции | |||
| 
| 
| 
|