 |
|
Применение дифференциала.
Приложение дифференциала к приближенным вычислениям.
Из рисунка видно, что приращение функции Dy и дифференциал dy связаны приближенным равенством Dy » dy. Поэтому с помощью дифференциала можно вычислять значения функции 
, если известно Dx (приращение): 
Þ 
Þ 
.
Пример: Вычислить приближенно 
.
Введем функцию 
. Значение x=1,004, берем значение 
.
= 
=1, 
=1,004-1=0,004.
Вычислим дифференциал 
= 
= 
=0,002, 
= 
=1+0,002=1,002.
Производные высших порядков.
Производная высших порядков.
Пусть функция имеет производную в каждой точке некоторого интервала. 
- также является функцией от x, следовательно, ее тоже можно продифференцировать. 
- производная второго порядка или вторая производная. 
- производная третьего порядка или третья производная и т.д. 
- производная n-порядка.
Обозначаются: y¢, y², y²¢, yIV или y(1), y(2), y(3), y(4)...
Пример: 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
.
Механический смысл второй производной.
Вторая производная есть ускорение a прямолинейного движения тела в данный момент времени, выражает зависимость пройденного пути от времени t, т.е. если 
, то 
.
Уравнение касательной и нормали к кривой.
Из пучка прямых, проходящих через точку 
, выберем одну прямую ‒ касательную к графику функции: 
. Из геометрического смысла производной угловой коэффициент касательной: 
.
Þ 
.
Þ 
– уравнение касательной.
Определение: Нормалью к кривой называется прямая, перпендикулярная к касательной, проведенной в точке касания с абсциссой x0.
Так как нормаль перпендикулярна к касательной, то угловой коэффициент нормали: 
(из условия перпендикулярности прямых). Отсюда: 
Þ 
– уравнение нормали.
Пример: Составить уравнение касательной и нормали к графику функции 
в точке с абсциссой равной 1.
Ордината точки касания: 
Производная: 
.
Найдем значение производной в точке x0: 
, 
Уравнение касательной: 
Þ 
Уравнение нормали: 
Þ 
.