Главная | Обратная связь

Симетричні рівняння і обернені рівняння

Приклади:

1.

2.

3.

4.

5.

Означення: алгебраїчне рівняння n-го степеня називається

симетричним, якщо у нього рівні коефіцієнти при і , тобто воно має вигляд:

де . Безпосередньою перевіркою переконуємося, що є коренем симетричного рівняння непарного степеня. Поділивши симетричне рівняння непарного степеня на ми отримаємо симетричне рівняння парного степеня. Симетричні рівняння парного степеня підстановкою зводяться до рівнянь у два рази меншого порядку.

Приклади:

1)

Дане рівняння має корінь так як це симетричне рівняння непарного степеня . Розклавши ліву частину на множники отримаємо:

Розв’яжемо рівняння

Поділимо обидві частини цього рівняння на (так як не є коренем), отримаємо:

або .

Після заміни отримаємо рівняння коренями якого є числа і . Таким чином, ми отримали сукупність рівнянь:

або

Розв’язуючи ці рівняння, знаходимо корені:

Відповідь: 1, .

2) .

Оскільки не є коренем рівняння, поділимо обидві частини рівняння на , отримаємо

,

,

виносимо за дужки спільний множник

,

робимо заміну змінної ; підносимо обидві частини отриманої рівності в квадрат , виражаємо

підставляємо отриманий вираз в рівняння і розв'язуємо рівняння ; ; ; або . Повертаємося до заміни і розв'язуємо рівняння

а) ; ; .

б) ; ; ; ; ; .

Відповідь: ; ; .

3) .

Оскільки не є коренем рівняння, поділимо обидві частини рівняння на , отримаємо

 

,

,

виносимо за дужки спільний множник

,

робимо заміну змінної ; підносимо обидві частини отриманої рівності в квадрат , виражаємо ,

підставляємо отриманий вираз в рівняння і розв'язуємо рівняння , або . Повертаємося до заміни і розв'язуємо рівняння

а) ; .

б) ; ; дійсних розв’язків немає.

Відповідь: .

4) .

Оскільки не є коренем рівняння, поділимо обидві частини рівняння на , отримаємо

 

,

,

виносимо за дужки спільний множник

,

робимо заміну змінної ; підносимо обидві частини отриманої рівності в квадрат , виражаємо ,

підставляємо отриманий вираз в рівняння і розв'язуємо рівняння , або . Повертаємося до заміни і розв'язуємо рівняння

а) ; .

б) ;

Відповідь: ,

5) .

Ділимо на , отримуємо

,

,

виносимо за дужки спільний множник

,

робимо заміну змінної ; підносимо обидві частини отриманої рівності в квадрат , виражаємо ,

підставляємо отриманий вираз в рівняння і розв'язуємо рівняння , або . Повертаємося до заміни і розв'язуємо рівняння

а) , не має дійсних розв’язків.

б) ; .

Відповідь: .