И плоскости в пространстве.Стр 1 из 4Следующая ⇒
НЕДЕЛЯ 4 Лекция 7 Уравнение плоскости. Пусть заданы прямоугольная система координат Oxyz, произвольная плоскость П, точка и вектор Уравнение (1) определяет плоскость, проходящую через точку перпендикулярно вектору В уравнении (1) раскроем скобки . Выражение, стоящее в скобках обозначаем через Д, тогда получим (2) Уравнение (2) называется общим уравнением плоскости. Вектор называется нормальным вектором плоскости. Если в общем, уравнении плоскости коэффициент то, разделив все члены уравнения на – Д, уравнение плоскости можно привести к виду (3) здесь Это уравнением плоскости в «отрезках» в нем а, b и с соответствует абсциссе, ординате и аппликате точек пересечения плоскости с осями координат Ох, Оу, Оz. При любом расположении (2) плоскостей П1, П2 (4) в пространстве один из углов между ними равен углу между их нормальными векторами и вычисляется по формуле (5) Если два уравнения (4) определяют одну и ту же плоскость, то их коэффициенты пропорциональны (6) Если плоскости П1 и П2 параллельны, то коллениарны их нормальные векторы и наоборот. Но тогда (7) Условие (7) является условием параллельности плоскостей. Если же плоскости П1 и П2 перпендикулярны, то перпендикулярны их нормальные векторы . Но тогда их скалярное произведение равно 0, т.е. (8) Равенство (8) определяет условие перпендикулярности плоскостей.
Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Прямая в пространстве может быть задана системой уравнений двух плоскостей , (1) пересекающихся по этой прямой. Уравнения (1) называются общими уравнениями прямой. Для решения задач уравнения (1) не всегда удобны, по этому используют специальный вид уравнения прямой. Пусть дана прямая L и ненулевой вектор лежащий на данной прямойили параллельно ей. На прямой L возьмем точку M тогда уравнение этой прямой можно записать следующим образом (2) Уравнение (2) называется каноническим уравнением прямой. От канонических уравнений прямой, введя параметр легко можно перейти к параметрическим уравнением: (3) Пусть заданы две прямые каноническими уравнениями. и При любом расположении этих прямых в пространстве, один из двух углов между ними равен углу между их направляющими векторами . Угол можно вычислить по формуле (4) Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве имеют следующий вид (5) (6) Рассмотрим теперь взаимное расположение прямой и плоскости Ax+By+Cz+D=0. Угол между прямой и плоскостью определяется по формуле (7) Условием параллельности прямой и плоскости является условие
(8) а условием перпендикулярности прямой и плоскости
Литература: К.А. Хасеинов Каноны математики. Стр.96-110.
(9)
Лекция 8 ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|