 |
|
ВАХ диода с термокатодом с учетом пространственного заряда
(Закон Чайлда-Ленгмюра)
Если катод нагрет до высокой температуры, то электрическое поле, создаваемое объемным зарядом, вблизи катода, где плотность заряда максимальна, может преобладать над полем Е=U/d, создаваемым внешним источником питания, даже при довольно больших внешних напряжениях, и распределение потенциала также является немонотонным. Однако, считая, что точка минимума потенциала близка к катоду, примем как допущение, что напряженность поля равна 0 на катоде. Считая также, что величина 
является большой, будем считать, что частицы выходят из катода с нулевой тепловой скоростью v(0)=0, и скорость частиц определяется пройденной разностью потенциалов. Тогда уравнение Пуассона принимает вид
(6)
Умножаем на dj/dx и интегрируем по dx от 0 до х. Получаем
(7)
Умножаем на 2 обе части и извлекаем квадратный корень
(8)
Разделяя переменные (для этого слева и справа умножаем на dx и делим на j1/4) и еще раз интегрируя получаем
(9)
Делим на 2, возводим в квадрат и после преобразований получаем
j = 
(10)
Подставляя в полученное выражение х = d и j(d) = U получим ВАХ диода в случае ограничения тока пространственным зарядом
j= 
. (11)
Это закон Чайльда-Ленгмюра, или закон степени 3/2 или просто закон 3/2 - основной закон вакуумной электроники, аналог закона Ома для металлов. Полученное выражение определяет плотность тока, пропускаемого диодом, или так называемую пропускную способность вакуумного диода. Если плотность тока термоэмиссии или эмиссионная способность катода превышает пропускную способность, то избыточные электроны возвращаются на катод, а через промежуток протекает ток с плотностью равной пропускной способности диода.
Подставляя полученное выражение для плотности тока в предыдущее соотношение (10), можно после несложных преобразований получить распределение потенциала в промежутке
. (12)
Очевидно, что эта формула неправильно описывает распределение потенциала на начальном, прилегающем непосредственно к катоду участке промежутка, где имеет место немонотонный ход потенциала, благодаря которому низкоэнергетичная часть электронов возвращается обратно на катод. Кроме того, сделанное допущение о нулевой начальной скорости, очевидно, противоречит тому, что для реализации эффективной термоэмиссии катод должен быть нагрет до высокой температуры. Соответственно, закон 3/2, конечно, носит приближенный характер
После подстановки постоянных в закон 3/2 можно получить следующие выражения для плотности электронного тока
j(А/см2) = 2.34×10-6U(В)3/2/d(см)2, (13)
а для ионов
j(А/см2) = 5.46×10-8 U(В)3/2/( 
d(см)2). (14)
Как видно из записанных выражений влияние объемного заряда приводит к тому, что пропустить через вакуумный промежуток большой ток является весьма затруднительным (например при ускоряющем напряжении 100 В пропускная способность диода длиной 1 см составляет 2,34 мА/см2), хотя никакие столкновения и не мешают движению частиц.
Биполярный диод
Ограничение тока, протекающего через вакуумный промежуток, связано с действием пространственного заряда электронов. В связи с этим появляется возможность увеличения пропускной способности при компенсации электронного заряда ионами. Обсудим, насколько возрастет ток при использовании в качестве анода термоэмиттера ионов. Следует сказать, что реальных эффективных твердотельных ионных эмиттеров пока не разработано, несмотря на некоторые усилия в этом направлении, но сейчас мы обсудим такую возможность в принципе. Итак, пусть в плоскости x=d расположен эмиттер ионов. Обозначим через ji плотность ионного тока, и будем считать, что скорость ионов, поступающих в промежуток также как и скорость электронов равна 0, vi(d) =0. Для нахождения ВАХ необходимо решить уравнение Пуассона, в правой части которого в отличие от случая чисто электронного диода появится ионный заряд.
где
rе = je/ve = je/(2ej/m)1/2, ri = ji/vi = ji/(2e(U-j)/M)1/2
Введем безразмерные переменные у = j/U, z = x/d, и параметр а = 
и перепишем уравнение Пуассона в следующем виде
где j0 - ток электронов через вакуумный промежуток при отсутствии ионов, определяемый законом Чайльда – Ленгмюра (11). Умножая на dy/dz и интегрируя по dz от 0 до z получим
Анализируя полученное выражение, получаем, что с увеличением ионного тока и, соответственно, параметра а напряженность поля на аноде (где у=1) постепенно уменьшается, и при а=1 производная dy/dz становится равной 0. Дальнейшее увеличение ионного тока, по – видимому, не имеет смысла, так как приведет к возникновению немонотонного хода потенциала вблизи анода и возврату избыточных ионов на анод, также как это происходит с электронами вблизи катода. При а = 1 получаем ji = (m/M)1/2 je.
Полагая а = 1 умножим обе части на 2 и извлекая квадратный корень получаем
Разделяя переменные и интегрируя от 0 до 1 получим
Интеграл в правой части берется численно и после подстановки полученного значения и возведения в квадрат получается
je/j0=1.861.
Таким образом, существенного увеличения электронного тока в биполярном диоде не произойдет.