Главная | Обратная связь

Область ускоряющего поля

 

Математически задача выглядит также, как и в случае тормозящего поля, и решение выглядит аналогично

f(x,v_х ) = , при v_x>v_m, (8)

f(x,v_х ) = 0, при v_x<v_m

где - скорость, которую приобретают в точке х частицы, вышедшие из точки х_m с нулевой начальной скоростью_. Концентрацию заряженных частиц в точке х получим интегрируя f по всем возможным скоростям.

(10)

Домножив и разделив на 2/p^1/2 и представив интеграл в виде разности двух интегралов, один из которых берется в пределах от 0 до ¥ и равен 1, а другой в пределах от 0 до получим

. (12)

Введем безразмерную координату и запишем уравнение Пуассона в следующем виде

(16)

Полученное дифференциальное уравнение следует решать с граничными условиями при x=0. Умножаем обе части на 2 и интегрируем по dx от 0 до x

(17)

Извлекаем квадратный корень, разделяем переменные и интегрируем

(18)

В аналитических функциях интеграл не выражается, но он, как и в случае тормозящего поля, затабулирован. Можно также попытаться получить приближенную связь величин x и h. Энергия, приобретаемая электроном в электрическом поле, значительно превышает тепловую и, таким образом, в значительной части промежутка величина h существенно превышает 1. Воспользуемся для функции erf(y) ассимптотическим разложением erf(y) = 1- , справедливым при больших y . Тогда, разлагая получившееся подынтегральное выражение в ряд, производим интегрирование

(19)

Оставляя справа первый член разложения, вернемся к размерным переменным и возводя левую и правую часть (19) в квадрат получим

. (20)

Подставляя в полученное выражение х = d и j(d) = U получим после некоторых преобразований закон Чайльда-Ленгмюра

j= . (11)

Чтобы оценить ошибку удержим в (19) второй член разложения и получим для x следующее соотношение.

Снова вернемся к размерным переменным и возводя левую и правую часть (19) в квадрат получим

Заменяя j на U при x=d получим уточненную ВАХ диода

j= .

При Т ~ 10³ К величина kT/e ~ 0,1 В. Даже при U=10 В, т.е на два порядка больше, погрешность закона 3/2 составляет 27% и лишь при U=1000 В погрешность уменьшается до 2,7%.