Построение их графиков.Стр 1 из 4Следующая ⇒
НЕДЕЛЯ 8 Лекция 15 Исследование поведения функции и построение их графиков. Одной из важнейших прикладных задач дифференциального исчисления является разработка общих приемов исследования поведения функций. Функция у=f(х)называется возрастающей (убывающей)в некотором интервале, если большему значению аргумента из этого интервала соответствует большее (меньшее) значение функции, т. Е. при x1<x2 выполняется неравенство f(x1)<f(x2) (f(x1)>f(x2)). Перечислим признаки возрастания (убывания) функции. 1. Если дифференцируемая функция у=f(х) на oтрезке [а; b] возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке неотрицательна (неположительна), т. Е. f'(х) 0(f' (х) 0). 2. Если непрерывная на отрезке [а; b] и дифференцируемая внутри него функция имеет положительную (отрицательную) производную, то она возрастает (убывает) на этом отрезке. Функция y=f(х)называется неубывающей (невозрастающей)в некотором интервале, если для любых x1<x2 из этого интервала f(x1) f(x2) (f(x1) f(x2)). Интервалы, в которых функция не убывает или не возрастает, называются интервалами монотонности функций, Характер монотонности функции может изменяться только в тех точках ее области определения, в которых меняется знак первой производной. Точки, в которых первая производная функции обращается в нуль или терпит разрыв, называются критическими. Точка x1называется точкой локального максимума функции у=f(x), если для любых достаточно малых | | 0 выполняется неравенство f(x1+ )<f(x1). Точка x2называется точкой локального минимума функции у=f(х), если для любых достаточно малых | | 0 справедливо неравенство f(x2+ )>f(х2). Точки максимума и минимума называют точками экстремума функции, а максимумы и минимумы функции – ее экстремальными значениями. Теорема 1 (необходимый признак локального экстремума). Еслифункция. У=f(х) имеет в точке х=х0 экстремум, то либо f'(х0)=0, либо f'(х0) не существует. В точках экстремума дифференцируемой функции касательная к ее графику параллельна оси Ох. Теорема 2 (первый достаточный признак локального экстремума). Пусть функция у=f(х) непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку х=х0 и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки х0). Если f'(х) при х<х0 положительна, а при х>х0 отрицательна, то при х=х0 функция у=f(х) имеет максимум. Если же f '(х) при х<х0 отрицательна, а при х>х0 положительна, то при х=х0 данная функция имеет минимум. Следует иметь в виду, что указанные неравенства должны выполняться в достаточно малoй окрестности критической точки х=х0. Схема исследования функции у=f(х) на экстремум с помощью первой производной может быть записана в виде таблицы. Теорема 3 (второй достаточный признак локального экстремума функции).Пусть функция у=f(х) дважды дифференцируема и f'(х0)=0. Тогда в точке х=х0 функция имеет локальный максимум, если f»(х0)<0, и локальный минимум, если f «( х0)>0. В случае, когда f»(х0)=0, точка х= х0 может и не быть экстремальной.. Кривая, заданная функцией y=f(х), называется выпуклойв интервале (а; b),если все точки кривой лежат не выше любой ее касательной в этом интервале, и вогнутойв интервале (а; b), если все ее точки лежат не ниже любой ее касательной в этом интервале. Точка кривой М (х0, f(х0))отделяющая выпуклую ее часть от вогнутой, называется точкой перегиба кривой. Предполагается, что в точке М существует касательная. Теорема 4 (достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции).Если во всех точках интервала (а;b) вторая производная функции у=f(x) отрицательна (положительна), т. Е. f»(х)<0 (f»(x)>0), то кривая у=f(x) в этом интервале выпукла (вогнута). В точке перегиба, отделяющей промежуток выпуклости от промежутка вогнутости, вторая производная функции изменяет свой знак, поэтому в таких точках вторая производная функции или обращается в нуль, или не существует. Теорема 5 (достаточный признак точки перегиба).Если в точке х = х0 f»(х0)=0 или f»(х0) не существует и при переходе через эту точку производная f»(х) меняет знак, то точка с абсциссой х=х0, кривой у=f(x) – точка перегиба. Прямая L называется асимптотойданной кривой у=f(x), если расстояние от точки М кривой до прямой L при удалении точки М в бесконечность стремится к нулю. Из определения следует, что асимптоты Если существуют числа х=xi (i=1,…,n), при которых т.е. функция имеет бесконечные разрывы, то прямые х=xi называются вертикальными асимптотами кривой у=f(х). Если существуют пределы то прямая у=kх+b называется наклонной асимптотой кривой у=f(х)(при k=0 – горизонтальной). При х можем прийти к двум значениям для k. Если имеем одно значение для k, то при х можем получить два значения для b. Для полного исследования функции и построения ее графика можно рекомендовать следующую примерную схему: 1) указать область определения функции; 2) найти точки разрыва функции, точки пересечения ее графика с осями координат и вертикальные асимптоты (если они существуют); 3) установить наличие или отсутствие четности, нечетности, периодичности функции; 4) исследовать функцию на монотонность и экстремум; 5) определить интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба; 6) найти асимптоты графика функции; 7) произвести необходимые дополнительные вычисления; 8) построить график функции.
Литература: К.А. Хасеинов Каноны математики. Стр.190-201
Лекция 16
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|