Главная | Обратная связь

Практическое занятие 16

Пример.Исследовать функцию и построить ее график.

Решение.1) Функция определена при х > 0. (0,+¥) – область определения.

2). Исследуем поведение функции на границе области определения.

3) Из предыдущего пункта следует, что прямая х = 0 является вертикальной асимптотой, а прямая у = 0 – горизонтальной асимптотой. Будем находить невертикальные асимптоты y = kx +b.

Так как , то наклонной асимптоты нет; прямая у = 0 – горизонтальная асимптота.

4) Найдем точку пересечения c осью Ох. Если у = 0, то Точка Р(1;0) есть точка пересечения графика функции с осью Ох.

5) Функция будет функцией общего вида, так как область определения функции не является симметричной относительно начала координат, и поэтому не выполняются условия четности и нечетности функции. Функция непериодическая.

6) Для нахождения интервалов монотонности и экстремумов функции найдем критические точки. Для этого найдем первую производную

Решив уравнение найдем критические точки, подозрительные на экстремум. - критическая точка.

Исследуем знак первой производной при переходе через критическую точку в сторону возрастания х. Результаты исследования представим в виде таблицы.

х	(0,e)	e	(e,¥)
y’	+		-
у	возрастает	max	убывает

 

, - интервал возрастания, интервал убывания.

6) Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости и исследования на перегиб найдем вторую производную.

Решив уравнение найдем критические точки второго рода.

критическая точка второго рода.

Исследуем знак второй производной при переходе через критическую точку в сторону возрастания х. Результаты исследования представим в виде таблицы.

х	(0, )
y”
y	выпуклый	Пере-гиб	вогнутый

 

точка перегиба графика функции.

8) Используя результаты исследования, строим график функции

 

 

 

 

 

у

 

 

O 1 e x

 

 

Упражнения.

Исследовать функцию и построить ее график.

 

1. 2.

3. . 4.

5. . 6.

7. . 8. .

9. . 10.

11. . 12. .

13. . 14. .

15. . 16.