Главная | Обратная связь

Возрастание и убывание функции. Экстремум функции

Функция y= f(x) называется возрастающей (убывающей) на (a,b), если для любых , таких, что ( ).

Возрастающие и убывающие функции называются монотонными.

Достаточные признаки монотонности функции.

Если " на (а,b).

Точка называется точкой максимума (минимума) функции y= f(x), если функция непрерывна в этой точке и можно указать такую d-окрестность точки , что для всех х , принадлежащих этой окрестности, выполняется неравенство

При этом значение называется максимумом (max) (минимумом (min)) функции. Максимум и минимум функции называются экстремумом.

Необходимое условие существования экстремума. Если в точке функция непрерывна и имеет экстремум, то f’( ) = 0 или производная в этой точке не существует.

Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками первого рода.

Достаточный признак существования экстремума.

Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна в некоторой окрестности точки , включая саму точку, и производная f’( ) существует в окрестности этой точки, за исключением, быть может, самой точки .

Тогда, если:

1) (знак +) при х< и (знак -) при х> , то функция в точке достигает максимума;

2) (знак - ) при х< и (знак +) при х> , то функция в точке достигает минимума;

3) f’( ) не меняет знак, то экстремума нет.

Пример. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции

Решение.Область определения – вся числовая ось. D(f) = (-¥,¥)

Находим производную f’(x). =

Решая уравнение , находим критические точки первого рода, т.е. точки, в которых производная либо равна нулю, либо не существует.

критические точки первого рода.

х	(-¥,-1)	-1	(-1,1)		(1,¥)
y’	-		+		-
y		min		max

Интервалы (-¥,-1), (1,¥) – интервалы убывания. Интервал (-1,1) – интервал возрастания. В точке х = -1 функция имеет минимум, в точке х = 1 – максимум.