Возрастание и убывание функции. Экстремум функции
Функция y= f(x) называется возрастающей (убывающей) на (a,b), если для любых , таких, что ( ). Возрастающие и убывающие функции называются монотонными. Достаточные признаки монотонности функции. Если " на (а,b). Точка называется точкой максимума (минимума) функции y= f(x), если функция непрерывна в этой точке и можно указать такую d-окрестность точки , что для всех х , принадлежащих этой окрестности, выполняется неравенство При этом значение называется максимумом (max) (минимумом (min)) функции. Максимум и минимум функции называются экстремумом. Необходимое условие существования экстремума. Если в точке функция непрерывна и имеет экстремум, то f’( ) = 0 или производная в этой точке не существует. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками первого рода. Достаточный признак существования экстремума. Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна в некоторой окрестности точки , включая саму точку, и производная f’( ) существует в окрестности этой точки, за исключением, быть может, самой точки . Тогда, если: 1) (знак +) при х< и (знак -) при х> , то функция в точке достигает максимума; 2) (знак - ) при х< и (знак +) при х> , то функция в точке достигает минимума; 3) f’( ) не меняет знак, то экстремума нет. Пример. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции Решение.Область определения – вся числовая ось. D(f) = (-¥,¥) Находим производную f’(x). = Решая уравнение , находим критические точки первого рода, т.е. точки, в которых производная либо равна нулю, либо не существует.
критические точки первого рода.
Интервалы (-¥,-1), (1,¥) – интервалы убывания. Интервал (-1,1) – интервал возрастания. В точке х = -1 функция имеет минимум, в точке х = 1 – максимум.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|