Здавалка
Главная | Обратная связь

Достаточное условие выпуклости и вогнутости функции



Если f”(x)<0 для xÎ (a,b), то функция выпукла на интервале (a,b), а если f”(x)>0 для xÎ (a,b), то функция вогнута на этом интервале.

Точка графика функции , отделяющая выпуклую часть графика функции от вогнутой, называется точкой перегиба.

Необходимое условие существования точки перегиба

Если непрерывная функция y= f(x) имеет в точке перегиб, то или вторая производная в этой точке не существует.

Точки, в которых или вторая производная в этих точках не существует, называются критическими точками второго рода.

Достаточные условия существования точки перегиба.

Если при переходе через критическую точку слева направо вторая производная меняет знак, то имеется перегиб; если перемены знака нет, то перегиба нет.

Пример. Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба функции y= .

Решение.Найдем область определения функции. D(f) =(-¥,+¥)

Найдем вторую производную Найдем критические точки второго рода. - критическая точка.

х (-¥,-2) -2 (-2,+¥)
y” - +
y выпукла Пер. вогнута

 

(-2, -2 ) – точка перегиба.

(-¥,-2) - интервал выпуклости, (-2,+¥) - интервал вогнутости.

 

 

Асимптоты графика функции.

 

При исследовании функции необходимо установить ее поведение при удалении текущей точки графика функции от начала координат. В некоторых случаях это можно сделать с помощью прямой, к которой неограниченно приближается текущая точка графика функции при удалении ее от начала координат.

Асимптотой графика функции y = f(x) называется прямая, расстояние от которой до текущей точки графика функции стремится к нулю при неограниченном удалении ее от начала координат.

Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты. Пусть М(х,у) – текущая точка графика функции. Точка М (х,у) может удаляться от начала координат следующим образом:

1) х® а, у® ¥; 2) х®¥, у® b, 3) x®¥, y®¥.

В первом случае имеем , и прямая x = a является вертикальной асимптотой.

Во втором случае и прямая y = b будет горизонтальной асимптотой.

В третьем случае график функции y = f(x) имеет наклонную асимптоту, уравнение которой имеет вид y = kx +b.

Необходимое и достаточное условие существование невертикальных асимптот устанавливается с помощью теоремы:

Теорема. Для того чтобы прямая y = kx +b была асимптотой графика функции , необходимо и достаточно существование пределов

Если не существует хотя бы один из пределов, то невертикальных асимптот нет.

Пример. Найти асимптоты графика функции

Решение. Точки х = 1 и х = -1 являются точками разрыва второго рода данной функции. Так как и , то прямые являются вертикальными асимптотами.

Найдем невертикальные асимптоты. При получаем

 

,

Следовательно, правой асимптотой является прямая у = х.

Аналогично, при имеем.

,

Левой асимптотой графика функции является прямая у = -х

 

Литература: К.А. Хасеинов Каноны математики. Стр.204-209

 

 







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.