Достаточное условие выпуклости и вогнутости функции
Если f”(x)<0 для xÎ (a,b), то функция выпукла на интервале (a,b), а если f”(x)>0 для xÎ (a,b), то функция вогнута на этом интервале. Точка графика функции , отделяющая выпуклую часть графика функции от вогнутой, называется точкой перегиба. Необходимое условие существования точки перегиба Если непрерывная функция y= f(x) имеет в точке перегиб, то или вторая производная в этой точке не существует. Точки, в которых или вторая производная в этих точках не существует, называются критическими точками второго рода. Достаточные условия существования точки перегиба. Если при переходе через критическую точку слева направо вторая производная меняет знак, то имеется перегиб; если перемены знака нет, то перегиба нет. Пример. Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба функции y= . Решение.Найдем область определения функции. D(f) =(-¥,+¥) Найдем вторую производную Найдем критические точки второго рода. - критическая точка.
(-2, -2 ) – точка перегиба. (-¥,-2) - интервал выпуклости, (-2,+¥) - интервал вогнутости.
Асимптоты графика функции.
При исследовании функции необходимо установить ее поведение при удалении текущей точки графика функции от начала координат. В некоторых случаях это можно сделать с помощью прямой, к которой неограниченно приближается текущая точка графика функции при удалении ее от начала координат. Асимптотой графика функции y = f(x) называется прямая, расстояние от которой до текущей точки графика функции стремится к нулю при неограниченном удалении ее от начала координат. Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты. Пусть М(х,у) – текущая точка графика функции. Точка М (х,у) может удаляться от начала координат следующим образом: 1) х® а, у® ¥; 2) х®¥, у® b, 3) x®¥, y®¥. В первом случае имеем , и прямая x = a является вертикальной асимптотой. Во втором случае и прямая y = b будет горизонтальной асимптотой. В третьем случае график функции y = f(x) имеет наклонную асимптоту, уравнение которой имеет вид y = kx +b. Необходимое и достаточное условие существование невертикальных асимптот устанавливается с помощью теоремы: Теорема. Для того чтобы прямая y = kx +b была асимптотой графика функции , необходимо и достаточно существование пределов Если не существует хотя бы один из пределов, то невертикальных асимптот нет. Пример. Найти асимптоты графика функции Решение. Точки х = 1 и х = -1 являются точками разрыва второго рода данной функции. Так как и , то прямые являются вертикальными асимптотами. Найдем невертикальные асимптоты. При получаем
, Следовательно, правой асимптотой является прямая у = х. Аналогично, при имеем. , Левой асимптотой графика функции является прямая у = -х
Литература: К.А. Хасеинов Каноны математики. Стр.204-209
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|