 |
|
Ответ: начальная скорость тела равна 10.1 м/с.
Задача 54С башни брошено тело в горизонтальном направлении со скоростью 15 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить радиус кривизны траектории тела через 2 с после начала движения.
Эта задача была размещена посетителями в разделе Решаем вместе 9 октября 2007 года.
Решение:
Радиус кривизны траектории — это радиус окружности R, по которой в этот момент движется тело.
Через две секунды тело приобретет скорость v, в которой вертикальная составляющая равна vy = gt:
| v = √(vx2 + vy2) = √(vx2 + (gt)2). | (1) |
Нормальное ускорение тела an:
| an = | v2 | , |
| R |
откуда радиус окружности R равен:
| R = | v2 | . (2) |
| an |
Нормальное ускорение an связано соотношением:
| an = g•cos α, |
где
| cos α = | vx | , |
| v |
тогда:
| an = | gvx | . (3) |
| v |
Подставляя (3) и (1) в (2), получим:
| R = | vv2 | = | √(vx2 + (gt)2) | • (vx2 + (gt)2). |
| gvx | gvx |
После вычислений R = 104,2 м.
Ответ: радиус кривизны через 2 с составляет 104,2 м.
Задача 55Колесо, вращаясь равнозамедленно, при торможении уменьшило за 1 минуту частоту вращения от 300 до 180 об/мин. Момент инерции колеса равен 2 кг•м2. Найти:
1) угловое ускорение колеса;
2) тормозящий момент;
3) работу сил торможения;
4) число оборотов, сделанных колесом за эту минуту.
Эта задача была размещена посетителями в разделе Решаем вместе 19 сентября 2007 года.
Решение:
При равнозамедленном вращении колеса имеем изменение угловой скорости:
| Δw = w2 − w1 = 2πn2 − 2πn1 = 2π(n2 − n1). |
Угловое ускорение равно отношению изменения угловой скорости ко времени
| ε = | Δw | = | 2π(n2 − n1) | . |
| t | t |
Момент торможения (тормозящий момент) будет равен:
| M = Jε = J | 2π(n2 − n1) | . |
| t |
Работа сил торможения равна изменению кинетической энергии:
| −A = W2 − W1 = | Jw12 | − | Jw12 | = | J(2πn2)2 | − | J(2πn1)2 | = 2π2J(n22 − n12). |
| 2 |
То есть:
| A = 2π2J(n12 − n22). |
Наконец, число оборотов можно определить так (поскольку движение равнозамедленное):
| N = | t(n1 + n2) | . |
Проведем расчеты:
ε = −0.21 рад/с2; М = −0.42 Н•м; A = 631 Дж; N = 240 оборотов.
Задача 56На краю горизонтальной платформы стоит человек массой 80 кг. Платформа представляет собой круглый однородный диск массой 160 кг, вращающийся вокруг вертикальной оси, проходящий через ее центр, с частотой 6 об/мин. Сколько оборотов в минуту будет делать платформа, если человек перейдет от края платформы к ее центру? Момент инерции рассчитывать как для материальной точки.
Эта задача была размещена посетителями в разделе Решаем вместе 19 сентября 2007 года.
Решение:
Система «человек–платформа» замкнута в проекции на ось Y, т. к. моменты сил Mm1g = 0 и Mm2g = 0 на эту ось. Следовательно, можно воспользоваться законом сохранения момента импульса. В проекции на ось Y:
| J1w1 = J2w2, (1) |
где J1 — момент инерции платформы с человеком, стоящим на ее краю, J2 — момент инерции платформы с человеком, стоящим в центре, w1 и w2 — угловые скорости платформы в обоих случаях. Здесь
| J1 = | m2R2 | + m1R2, |
| 2 |
| J2 = | m2R2 | , (2) |
| 2 |
где m1, m2 — массы человека и платформы соответственно, R — радиус платформы.
Подставляя (2) в (1) и учитывая, что w = 2πn, где n — частота вращения платформы, получим:
| ( | m2R2 | + m1R2)2πn1 = | m2R2 | 2πn2. |
| 2 | 2 |
Решаем последнее уравнение относительно неизвестной частоты вращения "платформы-человек" n2:
| n2 = | m2 + 2m1 | n1. |
| m2 |
После вычислений: n2 = 0.2 (об/с) = 12 об/мин. Задача это ВУЗовская и решена здесь по просьбе посетителей в виде исключения.
Задача 57Экваториальный радиус Земли равен 6370 км. Определить линейную и угловую скорости движения точек экватора при вращении Земли вокруг оси.
Эта задача была размещена посетителями в разделе Решаем вместе 29 сентября 2007 года.
Решение:
Линейная скорость вращения ν точек земного экватора:
| ν = | 2πR | , |
| T |
а угловая скорость вращения w всех точек Земли равна:
| w = | 2π | . |
| T |
После вычислений будем иметь: ν = 463 м/с, w = 7,3×10−5 рад/с.
Задача 58Шар подвешен на невесомой нерастяжимой нити длиной l = 0,5 м. Какую минимальную горизонтально направленную скорость vo надо сообщить шару, чтобы он сделал полный оборот в вертикальной плоскости?
Эта задача была размещена посетителями в разделе Решаем вместе 25 мая 2007 года.
Решение:
Воспользуемся законом сохранения механической энергии при переходе шарика из нижнего положения в верхнее:
| mvo2 | = mg • 2l + | mv2 | (1), |
где l — длина подвеса или нерастяжимой нити.
В верхней точке на шарик будут действовать 2 силы: сила тяжести mg (направлена вниз) и сила натяжения нити T (также направлена вниз). Эти силы сообщают шарику центростремительное ускорение, направленное вниз — к точке подвеса:
maц = mg + T
Поскольку шарик достиг верхней точки (T = 0, условие задачи), то
| mv2 | = mg |
| l |
отсюда
v2 = gl (2).
Сделаем подстановку (2) в (1), получим
| mvo2 | = 2mgl + | mgl |
vo2 = g4l + gl = 5gl.
vo = √(5gl)
Выполнив вычисления, получим: vo = √(5×10×0,5) = 5 (м/с).