 |
|
Ответ: если шарик подвешен на нерастяжимой нити, его скорость должна составлять не менее 5 м/с.
Примечание: если шар подвешен на жестком стержне, то в верхней точке скорость v может обратиться в нуль, тогда из (1)
| mvo2 | = mg•2l, отсюда |
vo2 = 4gl,
vo = √(4gl) = 2√(gl)
Произведя вычисления, получим: vo = 2×√(10×0,5) = 4,47 (м/с).
Задача 59Молоток массой 0,80 кг в момент удара о шляпку гвоздя имеет скорость 1,5 м/с и забивает его в бревно на глубину 5,0 мм. Какой массы груз необходимо положить на шляпку гвоздя, чтобы он вошел в бревно на такую же глубину?
Эта задача была размещена посетителями в разделе Решаем вместе 28 октября 2007 года.
Решение:
Рассмотрим начальные условия (см. рисунок слева).
Молоток имеет кинетическую энергию в момент удара mv2/2, потенциальную энергию Mgh (начальный уровень связан с положением шляпки гвоздя после удара). Для упрощения возьмем массу гвоздя сосредоточенной в шляпке. Гвоздь имеет потенциальную энергию mgh. Здесь h = 5,0 мм — глубина погружения гвоздя после удара молотком.
После удара: потенциальная энергия гвоздя равна нулю, кинетическая энергия молотка равна нулю, потенциальная энергия молотка равна нулю. Энергия, затраченная на работу против сил сопротивления движению гвоздя в бревне, равна <F>s.
Из закона сохранения энергии:
| Mv2 | + Mgh + mgh = <F>h. (1) |
| 2 |
Рассмотрим вторую ситуацию. Необходимо положить груз массы M1 так, чтобы гвоздь опустился на такую же глубину.
Начальные условия: потенциальная энергия груза M1gh, потенциальная энергия гвоздя mgh. В конечном положении потенциальные энергии груза и гвоздя равны нулю, так как нулевой уровень связан с конечным положением шляпки. Энергия, затраченная на работу против сил сопротивления движению гвоздя в бревне, также равна <F>h.
Тогда:
| M1gh + mgh = <F>h. (2) |
Приравняем правые части уравнений (1) и (2):
| Mv2 | + Mgh + mgh = M1gh + mgh. |
| 2 |
| M1 = | Mv2 | + M. |
| 2gh |
При M = 0,8 кг, v = 1,5 м/с, h = 5 мм, после вычислений имеем M1 = 18.8 кг.
Задача 60На горизонтальной плоскости находятся две тонкостенные трубы радиуса R каждая, оси которых параллельны. Вначале одна из труб, имеющая массу m, покоится, а вторая, имеющая массу 2m, катится без проскальзывания по направлению к первой со скоростью поступательного движения v. Считая столкновение труб абсолютно упругим, найдите зависимость от времени скоростей поступательного и вращательного движений второй трубы. Нарисуйте графики этих зависимостей. Коэффициент трения скольжения труб о горизонтальную поверхность равен k. Трением между трубами при столкновении пренебречь. Какая часть кинетической энергии, оставшейся у второй трубы после удара, перешла в тепло при её последующем движении?
Эта задача была размещена посетителями в разделе Решаем вместе 28 октября 2007 года.
Решение:
Так как трение между трубами пренебрежимо мало, то можно считать, что при соударении труб вращение одной из них не передается второй. Поэтому, рассматривая соударение труб, мы можем не учитывать вращение первой (первоначально движущейся) трубы.
Запишем для столкновения труб законы сохранения энергии и импульса:
| mvo = mv1 + mv2. |
| mvo2 | = | mv12 | + | mv22 | , |
| 2 |
где v1 и v2 — скорости поступательного движения соответственно первой и второй труб после соударения.
Решая эти уравнения совместно, найдем, что v1 = 0 и v2 = vo, то есть при соударении трубы обмениваются скоростями поступательного движения — точно так же, как при соударении двух одинаковых шаров.
Рассмотрим теперь, что будет происходить с первой, первоначально двигавшейся трубой после удара. В системе координат, связанной с осью трубы, катящейся без проскальзывания по плоскости со скоростью vo. Это означает, что такая труба вращается вокруг своей оси так, что линейная скорость вращения точек ее поверхности равна по величине скорости поступательного движения оси трубы. Поэтому первая труба после столкновения вращается вокруг своей оси с угловой скоростью w = vo/R.
Сила трения Fтр = kmg, действующая на эту трубу, замедляет ее вращение и одновременно сообщает ей ускорение:
| a = | Fтр | = kg. |
| m |
в направлении первоначального движения трубы. К моменту t эта труба будет иметь скорость поступательного движения:
| u1' = at = kgt |
и будет вращаться вокруг своей оси с угловой скоростью:
| w1 = | vo − kgt | . |
| R |
Скорость поступательного движения трубы увеличивается, а скорость вращения трубы уменьшается пропорционально времени. К моменту to, когда скорость поступательного движения оси трубы станет равна линейной скорости вращения трубы вокруг оси, проскальзывание трубы относительно плоскости прекратится, и после этого ни скорость вращения трубы w1', ни скорость поступательного движения оси трубы u1' уже не будут меняться. Из условия
| kgto = vo − kgto |
найдем, что
| to = | vo | . |
| 2kg |
В этот момент
| u1 = | vo | и w1 = | vo | . |
Рассматривая аналогично движение второй трубы, найдем, что действующая на нее сила трения уменьшает скорость ее поступательного движения:
| u1 = vo − kgt |
и увеличивает угловую скорость вращения:
| w2 = | kgt | . |
| R |
К моменту t = vo/2kg проскальзывание трубы относительно плоскости прекратится. В этот момент труба будет иметь не меняющиеся в дальнейшем скорость поступательного движения u2 = vo/2 и угловую скорость вращения вокруг оси w2 = vo/2R.
Графики зависимости скоростей поступательного движения труб и их угловых скоростей вращения от времени показаны на рисунке слева.
Замечание: задача из "Кванта" 1970 г., № 23 (в оригинале трубы имеют одинаковые массы). 3-я Всесоюзная олимпиада 1969 г., 9 кл. И. Ш. Слободецкий, В. А. Орлов - Всесоюзные олимпиады по физике. Москва, «Просвещение» 1982 г., задача № 99, стр. 20.
Задача 61 c какой силой F будут притягиваться два одинаковых свинцовых шарика радиусом r = 1 см, расположенные на расстоянии R = 1 м друг от друга, если у каждого атома первого шарика отнять по одному электрону и все эти электроны перенести на второй шарик? Молярная масса свинца M = 207×10−3 кг/моль, плотность ρ = 11,3 г/см3.
Решение: после того как электроны у одного шарика отняты и перенесены на другой, шарики приобретают равные и противоположные по знаку заряды, поэтому (если шарики находятся в вакууме) сила притяжения
| F = | q2 | , |
| 4πεoR2 |
где R — расстояние между центрами шариков, π — число Пи. Заряд q определится следующим соотношением:
| q = | e | m | NA | = e | ρV | NA | = | ερπr3NA, | |
| M | M | 3M |
здесь NA = 6,02×1023 моль−1 (число Авогадро). Тогда
Задача 62внутри гладкой сферы находится маленький заряженный шарик. Какой величины заряд нужно поместить в нижней точке сферы для того, чтобы шарик удерживался в ее верхней точке?
Решение: заряд Q, который нужно поместить в нижней точке сферы, должен быть таким, чтобы электрическая сила, действующая на верхний заряд, была не меньше силы тяжести mg, то есть
| kqQ | ≥ mg, отсюда |
| d2 |
| Q ≥ | mgd2 | . |
| kq |
Однако нам надо еще проверить, будет ли такое равновесие устойчивым. Рассмотрим малое отклонение шарика от положения равновесия.
Равновесие шарика устойчиво, если проекция силы F электрического взаимодействия зарядов на касательную к сфере больше или равна проекции силы тяжести на ту же касательную:
| kqQ·sin α | ≥ mg·sin 2α |
| d2 |
(Сила N реакции опоры перпендикулярна поверхности сферы.)
Так как угол α отклонения шарика от положения равновесия мал, то sin α ≈ α, sin 2α ≈ 2α. Поэтому
| kqQ·α | ≥ mg·2α |
| d2 |
Следовательно, для устойчивого равновесия шарика в верхней точке сферы в нижнюю точку сферы должен быть помещен заряд равный
| Q ≥ | 2mgd2 | . |
| kq |
Задача 63по кольцу могут свободно перемещаться три шарика, несущие заряды: +q1 на одном шарике и +q2 на каждом из двух других. Чему равно отношение зарядов q1 и q2, если при равновесии дуга между зарядами q2 составляет 60°?
Решение: для равновесия зарядов необходимо, чтобы сумма проекций всех электрических сил приложенных к каждому заряду, на направление касательной к кольцу равнялась нулю. Результирующая электрическая сила в этом случае перпендикулярна к окружности и уравновешивается силой реакции кольца.
Так как заряды в точках B1 и B2 равны между собой, то заряд q1 может быть расположен в точке, находящейся на равных расстояниях от точек B1 и B2. В соответствии со сказанным, проекции сил f21 и f22, действующих на заряд q2 в точке B1 со стороны других двух зарядов на направление касательной к окружности TT1 в точке B1, должны быть равны друг другу, т. е. f21cos y1 = f22cos y2 (1). Но
| f21 | = | q1q2 | , где (из треугольника AB1O) |
| 4πεor122 |
| r12 | = 2Rcos | β | , поэтому |
| f21 | = | q1q2 | (2). Далее |
| 16πεoR2cos2(β/2) |
| f22 | = | q22 | , где | r22 = 2Rsin | α | , т.е. |
| 4πεor222 |
| f22 | = | q22 | (3). |
| 16πεoR2sin2(α/2) |
Рассматривая углы при вершине B1, мы можем записать
| β | + y1 = 90° (4), | 90° − | α | + y1 + y2 + | β | = 180° (5). |
Из уравнений (1) – (5), учитывая, что β=(α/2)
Задача 64На расстоянии d от большой проводящей пластины находится точечный электрический заряд +q. С какой силой на него действует пластина?
Решение: индуцированные отрицательные заряды на поверхности проводника распределяются таким образом, что результирующая напряженность поля внутри проводника от положительного точечного заряда и индуцированных отрицательных зарядов равна нулю. (Индуцированные положительные заряды уйдут на удаленные края пластинки, и их полем можно пренебречь.) Это распределение индуцированных зарядов не зависит от толщины пластинки.
Поместим слева от пластинки на том же расстоянии d заряд –q. Ясно, что на левой стороне пластинки индуцированные положительные заряды распределяются таким же образом, как и отрицательные на правой стороне пластинки. От того, что мы поместили слева от пластинки заряд –q, электрическое поле справа от пластинки не изменится. Таким образом, справа от пластинки электрическое поле от заряда +q и отрицательных индуцированных зарядов совпадает с полем, создаваемым зарядами +q и –q и зарядами, индуцированными на поверхностях пластинки. Если толщина пластинки очень мала по сравнению с d, то мы можем пластинку считать бесконечно тонкой, а в таком случае поле, создаваемое индуцированными зарядами, вне пластинки отсутствует.
Итак, мы показали, что поле справа от пластинки, создаваемое зарядом +q и индуцированными отрицательными зарядами, совпадает с полем, создаваемым точечными зарядами +q и –q. Поскольку в точке нахождения заряда +q напряженность поля от индуцированных отрицательных зарядов равна напряженности поля от точечного заряда –q, находящегося на расстоянии 2d от +q, то искомая сила притяжения равна
| F = | kq2 | = | q2 | . |
| (2d)2 | 16πεod2 |
Задача 65Тонкое проволочное кольцо радиуса R несет электрический заряд q. В центре кольца расположен одноименный заряд Q, причем Q >> q. Определить силу, с которой растянуто кольцо.
Решение: так как Q >> q, то взаимодействием между отдельными элементами кольца можно пренебречь. Выделим малый элемент кольца длины RΔα. Со стороны заряда Q на него действует сила
| ΔF = | QΔq | , где Δq = | qΔα | . |
| 4πεoR2 | 2π |
Силы натяжения кольца T уравновешивают ΔF. Из условия равновесия, учитывая, что Δα мало, имеем
| ΔF = 2Tsin | Δα | ≈ 2T | Δα | = TΔα. |
Искомая сила является натяжением
| T = | . | |
| 8π2εoR2 |
Задача 66Тонкое проволочное кольцо радиуса R имеет электрический заряд +Q. Как будет двигаться точечное тело массы m, имеющее заряд –q, если в начальный момент времени оно покоилось в некоторой точке на оси кольца на расстоянии x<<R от его центра? Кольцо неподвижно.
Решение: сила, действующая на заряд –q, равна (см. формулу слева) и направлена всегда к центру кольца. Так как x << R, то, пренебрегая в знаменателе x по сравнению с R, получим
| F = | x. | |
| 4πεoR3 |
Таким образом, сила пропорциональна x и направлена к центру кольца. Под влиянием этой силы заряд совершает колебательное движение, период которого равен T (см. формулу слева).
Задача 67Какой минимальной скоростью vmin должен обладать протон, чтобы он смог достигнуть поверхности положительно заряженного металлического шара, имеющего потенциал ? = 400 В. Начальное расстояние протона от поверхности шара r = 3R, где R — радиус шара.
Эта задача была размещена посетителями в разделе Решаем вместе 1 октября 2007 года.
Решение:
Для решения задачи воспользуемся законом сохранения и превращения энергии. Протон теряет свою кинетическую энергию в результате работы электрического поля:
ΔEk = A,
или
| mv2 | = q(φ1 − φ2), |
| 2 |
где
| φ1 = k | Q | , |
| 4R |
— потенциал на расстоянии R + 3R = 4R от центра шара.
Из формулы:
| φ = k | Q | выразим заряд шара Q = | φR | . |
| R | k |
Тогда потенциал электрического поля шара на расстоянии 3R от его поверхности равен:
| φ1 = | φRk | = | φ | . |
| 4Rk |
Тогда
| mv2 | = q(φ − | φ | ) = | qφ. | |
Отсюда cкорость протона:
| v = √( | 3qφ | ). |
| 2m |
После вычислений получим v = 2.4×105 м/с.
Задача 68По тонкому проволочному кольцу равномерно распределен заряд с линейной плотностью τ = 100 пКл/м. Определить потенциал Φ электрического поля в центре кольца.
Эта задача была размещена посетителями в разделе Решаем вместе 8 октября 2007 года.
Решение:
Потенциал в центре проволочного кольца определим по принципу суперпозиции, разбив кольцо на элементарные участки с зарядом qi. Получим формулу (на рисунке слева), в которой:
i — количество разбиений,
потенциал Φi, создаваемый в центре кольца элементарным зарядом qi, равен:
| Φi = | qi | . |
| 4πεoR |
Из формулы линейной плотности заряда кольца
| τ = | q |
| 2πR |
выразим:
| q = qi•N = 2τπR. |
Произведем суммирование Φ:
| Φ = | • | qiN | = | • | q | = | 2πτR | = | τ | . | ||
| 4πεo | R | 4πεo | R | 4πεoR | 2εo |
Выполнив расчеты, получим: Φ = 5.65 В.
Задача 69Рентгеновские лучи образуют в 1 см3 газа 12,5×106 пар ионов за 1 с. Между пластинами плоского конденсатора площадью по 100 см2 при этих условиях ток насыщения 1×10−10 A. Каково расстояние между пластинами конденсатора?
Эта задача была размещена посетителями в разделе Решаем вместе 23 мая 2007 года.
Решение:
Плотность тока насыщения в газе jн определяется формулой
jн = Nqd (1),
где N — число пар ионов, созданных рентгеновскими лучами в единице объема в единицу времени, d — расстояние между пластинами.
Сила тока J и плотность тока S связаны соотношением J = I/S, тогда
| jн = | Iн | (2). |
| S |
Приравняем правые части уравнений (1) и (2):
| Iн | = Nqd, откуда |
| S |
| d = | Iн |
| SNq |
После вычислений
d = 1?10−10 A/(100?10−4 м2?12,5?1012?1,6?10−19 Кл) = 5?10−3 м = 5 мм.