 |
|
Довжина дуги еліпса
Довжина дуги еліпса обчислюється за формулою:
Використавши параметричний запис еліпса отримуємо наступний вираз:
Після заміни 
вираз довжини дуги приймає остаточний вигляд:
Отриманий інтеграл належить до родини еліптичних інтегралів, які не виражаються у елементарних функціях, і зводиться до еліптичного інтегралу другого роду 
. Зокрема, периметр еліпса дорівнює:
,
де 
— повний еліптичний інтеграл Лежандра другого роду.
Наближені формули периметра
YNOT: 
, де 
Максимальна похибка цією формули становить близька 0,3619% при ексцентриситеті еліпса 0,979811 (відношення осей ~1/5). Похибка завжди додатна.
Дуже наближена формула: 
Дотична
Рівняння дотичної до еліпса через точку 
, яка належить еліпсу
Гіпербола
Гіпербола (грец. ὑπερβολή) — кривВизначення
Гіпербола є невиродженою кривою другого порядку, яка задається рівнянням:[1]
де 
та 
— параметри. Таке рівняння називається канонічним рівнянням гіперболи.[2]
Нехай канонічне рівняння кривої другого порядку шляхом переносу центру координат перетворено у вигляд:
В цьому випадку крива проходить через початок координат нової системи; вісь абсцис є віссю симетрії кривої. Це рівняння відображає той факт, що невироджена крива другого порядку є геометричним місцем точок, відношення відстаней яких 
(ексцентриситет) від заданої точки (фокуса) та від заданої прямої (директриса) незмінна. Крива є гіперболою, якщо 
.[1] Тобто, гіпербола є геометричним місцем точок, абсолютна величина різниці відстаней яких від фокусів дорівнює 
(фокальна властивість гіперболи). Директоріальна властивість гіперболи полягає в тому, що гіпербола є геометричним місцем точок, відношення відстаней яких від фокуса до одноіменної директриси дорівнює 
.[2]
Властивості
Гіпербола та її фокуси.
