Главная | Обратная связь

Розрахунки на міцність при згині.

Як ми встановили раніше, в поперечних перерізах балки при поперечному згині виникає нормальна та дотична напруги. Але, як ми бачимо, з прикладу 23 дотична напруга дуже мала в порівнянні з нормальною напругою. Тому розрахунки на міцність при згині виконують за найбільшими нормальними напругами, за винятком випадків, на яких зупинимось нижче.

Умова міцності при згині по допустимим напругам на основі формули (84) виразиться нерівністю

. (90)

Отримана умова міцності виражає вимогу, щоб найбільші робочі напруги в поперечних перерізах балок не перевищували допустимої напруги для даного матеріалу.

Причому в формулу (90) підставляють найбільші (за абсолютною величиною) значення М_х.

Ми вже знаємо із розділу ІІ, що основна формула розрахунку на міцність по допустимим напругам дає можливість виконувати три види розрахунків:

а) перевірний, що заключається в визначенні найбільшої напруги в небезпечному перерізі та порівняння її з допустимою;

б) проектний, що заключається у визначенні необхідного моменту опору перерізу,

(91)

Для отримання необхідних розмірів поперечного перерізу балки потрібно задатися формою перерізу балки, а потім, застосовуючи відповідну їй формулу моменту опору, визначити розміри поперечного перерізу;

в) визначення найбільшого допустимого навантаження на балку.

Для вирішення цієї задачі знаходимо значення найбільшого допустимого згинального моменту за формулою (90):

, (92)

 

Приклад 24. За даними прикладу 23 підібрати переріз стальної двотаврової балки при допустимій напрузі [s] = 160 МПа.

Розв¢язок.

кН×м = 1950 кН×см.

Необхідний момент опору перерізу

де [s] = 160 МПа = 16 кН/см²

За таблицями сортаменту підбираємо переріз двотавра № 18 з моментом опору W_x = 143 см³.

Приклад25.Визначити допустиму величину сил F, прикладених до стальної швелерної балки, що згинається в площині найменьшої жорсткості (рис. 82), [s] = 160 МПа.

Розв¢язок. Знаходимо реакції опор.

Так як навантаження симетрично прикладене до балки, то

.

Будуємо епюру згинальних моментів.

М_А= 0; М_С=V_A×2 = F×2 = 2F; М_Д = V_B×2 = F×2 = 2F; М_В = 0.

Знайдемо допустимий згинальний момент за формулою (92).

, де МПа = 16 кН/см².

Осьовий момент опору W_x приймається за таблицями сортаменту для швелера № 30 відносно його власної осі у, так як нейтральна вісь балки буде співпадати з цією віссю,

см³,

[М] = 16×43,6 = 697,6 кН×см = 6,98 кН×м.

 

Рис. 82

 

Максимальний згинальний момент в балці

М_max = 2F = [M] = 6,98 кМ×м,

тоді допустиме навантаження

кН.

 

При дуже великих навантаженнях на балку та у випадках, коли згинальний момент незначний, а поперечна сила велика (при великих зосереджених силах поблизу опор), дотичні напруги можуть бути великими. Таж саме може бути в перерізах клепаних та зварних балок, де товщина стінки меньша, ніж в прокатних. В цих випадках повинна бути зроблена перевірка міцності по дотичним напругам на основі формули (88).

. (93)

В дерев¢яних балках в перерізах, направлених вздовж волокон, опір сколюванню значно гірший, ніж опір поперечному перерізанню волокон. В площині нейтрального шару виникають значні дотичні напруги, величина яких також повинна бути перевірена розрахунком.

Міцність балки при згині залежить від величини найбільшої нормальної напруги в поперечному перерізі,

.

Величина моменту опору перерізу знаходиться в знаменнику. Тобто, чим більша його величина, тим менша напруга, а значить, і міцніша балка. Найбільш раціональними, з точки зору економії матеріалу, будуть перерізи, в яких при меншій площі будуть більші моменти опору.

Економічність та раціональність прийнятого типу перерізу можна оцінювати за питомим осьовим моментом опору

.

Так, для прямокутного перерізу ; для круглого W_num = 0,141; для кільцевого W_num = 0,294; для прокатних профілів балок, наприклад, для двотавра № 10 (ГОСТ 8239-72) W_num = 0,96; для двотавра № 30 W_num = 1,49.

Таким чином, двотаврові балки в 5-6 разів економічніші за прямокутні балки і в 7-8 разів - за балки круглого перерізу.

 

§42. Напружений стан при поперечному згині.
Головні площадки та головні напруги.

Перевірку балки на міцність можна здійснити за формулами (90) і (93), тобто по нормальним і дотичним напругам. Давайте вияснимо, міцність яких елементів ми перевіряємо за цими формулами.

На рис. 83 показана частина фасаду балки в тому місці, де розміщені перерізи з найбільшим згинальним моментом та найбільшою поперечною силою.

 

Рис. 83.

 

В перерізі з найбільшим згинальним моментом M_max в елементах, найбільш віддалених від нейтрального шару, виникають найбільші нормальні напруги s_max, а дотичні напруги дорівнюють нулю. Ці елементи працюють на розтяг та стиск. В елементі, що розміщений в нейтральному шарові, виникають найбільші дотичні напруги t_max в перерізі, де виникає найбільша поперечна сила Q_max. Цей елемент знаходиться в стані чистого зсуву.

Таким чином, проводячи перевірку міцності по найбільшим нормальним та дотичним напругах, ми в дійсності перевіряємо міцність матеріала балки лише в трьох показаних на рис. 83 елементах.

Немає ніякої впевненості в тому, що ці три елемента знаходяться в найбільш небезпечному стані.

В елементі, що знаходиться в довільному перерізі на відстані у від нейтрального шару виникають нормальні та дотичні напруги (рис. 83). Нормальні напруги s діють по граням, перпендикулярним до осі балки, а дотичні напруги t - по всім чотирьом боковим граням. Фасадні грані елемента будуть вільні від напруг. Таким чином, ми маємо справу з плоским напруженим станом. Знайдемо головні напруги. Вони будуть виникати в похилих перерізах, в яких відсутні дотичні напруги. Для визначення головних напруг із балки виділимо елемент у вигляді трикутної призми із основою АВС і висотою, що дорівнює ширині балки (рис. 83). Замінимо дію відкинутих частин балки внутрішніми силами.

Представимо виділений елемент в більшому масштабі (рис. 84,а). На гранях призми будуть діяти: по АВ - нормальні напруги s і дотичні t; по грані АС - тількі дотичні напруги t, що дорівнюють дотичним напругам по грані АВ (згідно закону парності дотичних напруг). Нормальні напруги по грані АС дорівнюють нулю, так як при згині балки поздовжні волокна не тиснуть одне на одне. По похилій грані ВС діють нормальні напруги s¢ і дотичні t¢. Напруги s і t відомі, а напруги s¢ і t¢ невідомі і їх потрібно знайти.

 

Рис. 84.

 

Якщо позначити dA - площу грані ВС, а a - кут її нахилу, то площа грані АВ буде dA×sina, а площа грані АС - dA×cosa. Напрям всіх напруг, показаних на рис. 84,а, приймаємо за додатній, а кут a будемо рахувати від горизонтальної осі за годинниковою стрілкою. Сили, що замінюють дію відкинутих частин балки на грані призми,показані на рис. 84,б.

При поступовому повертанні похилої площадки напруги на ній будуть змінюватися, причому якщо s¢ буде зростати, то t¢ буде зменшуватися, це значить, що може настати момент, при якому t¢ будуть дорівнювати нулю, а s¢ досчягне найбільшого значення.

При такому положенні похила площадка ВС буде головною площадкою, а нормальні напруги на ній s¢ будуть головними напругами. При цьому для любої точки балки можуть бути знайдені дві взаємно перпендикулярні площадки, які будуть головними, і на одній із них буде діяти найбільша додатня головна напруга, на другій - найбільша від¢ємна головна напруга.

Визначимо величину гловної напруги. Уявимо, що кут нахилу головної площадки a вже знайдено. Тобто на грані ВС будуть діяти тільки головні напруги, рівнодіюча яких дорівнює s'·dA. По грані АВ рівнодіюча нормальних напруг дорівнює s×dAsina, а рівнодіюча дотичних напруг - tdAsina. По грані АС діють тільки дотичні напруги, рівнодіюча яких дорівнює tdAcosa (рис. 84, в).

Складемо рівняння рівноваги призми.

1. åZ_i = 0; s¢×dA×sina - s×dA×sina + t×dA×cosa = 0.

2. åY_i = 0; s¢×dA×cosa +t×dA×sina = 0.

Зробивши перетворення, отримаємо:

1. (s¢ - s)sina = -t×cosa;

2. s¢×cosa = -t×sina

перемноживши ліві та праві частини цих рівнянь та зробивши скорочення, отримаємо:

(s¢-s)×s¢ = t²,

або

s¢ ² - s×s¢ - t² = 0.

Розв¢язуючи отримане квадратне рівняння відносно s¢, знайдемо величини головних напруг:

s¢¢ ; (94)

 

Розділимо рівняння рівноваги åY_i = 0 на cosa:

 

Скоротивши на dA, маємо:

s¢+t×tga = 0,

звідки

tga = - . (95)

За формулою (95) знаходять кут нахилу головної площадки в перерізі бруса.

Найбільші дотичні напруги t_max будуть діяти під кутом 45° до головних площадок. Їх величину можна знайти за допомогою третьої теорії міцності (див. § 25). Прийнявши s₁ = s¢_max і s₃ = s¢_min, то отримаємо

 

;

 

аналогічно

,

 

або остаточно

(96)

 

При визначенні s¢_max, t¢_min за формулами (94)-(96) числові значення величин s і t потрібно підставляти у формули з урахуванням їх знаків: нормальні напруги розтягу брати зі знаком плюс, а знак дотичних напруг повинен відповідати знаку поперечної сили в даному перерізі.

Щоб знайти переріз по довжині балки, в якому діють найбільші головні напруги, потрібно співставити епюри Q i М. Той переріз, в якому одночасово діють більші, ніж в інших перерізах, поперечна сила і згинальний момент, і буде небезпечним перерізом по головним напругам.

Такими перерізами по довжині балки можуть бути, наприклад, перерізи над опорами консольних балок, в місці кріплення консолі та інш. Взагалі перерізи з M_max i Q_max не співпадають. Тому часто виникає необхідність перевіряти головні напруги в декількох перерізах, вибираючи їх таким чином, щоб значення M i Q були відносно великими.

Що стосується зміни нормальних та дотичних напруг по висоті перерізу балки,потрібно сказати слідуюче. В балках прямокутного перерізу не буде таких точок, в яких діяли б одночасово великі нормальні та дотичні напруги, а в балках двотаврового перерізу і взагалі в тих випадках, коли в перерізі різко змінюється ширина, такі точки будуть. Щоб знайти у вибраному перерізі точки, найбільш небезпечні по головним напругам, необхідно співставити епюри s і t. Точки перерізу, які відповідають більшим ординатам s і t, і будуть небезпечними по головним напругам.

В результаті перевірки головних напруг в перерізах балки величина їх не повинна перевищувати допустимих нормальних напруг, тобто:

.

Відносно напряму головних напруг потрібно сказати, що для балок, виготовлених із матеріалів, однаково працюючих на розтяг та стиск, це питання не має суттєвого значення, і при перевірці по головним напругам достатньо обмежитися обчисленням значень s¢_max i s¢_min.

Що стосується балок, виготовлених із матеріалів, по різному працюючих на розтяг та стиск, як, наприклад, із залізобетону, то дуже важливо знати напрям розтягуючих напруг в кожній точці, щоб по цих напрямках поставити стержні арматури. На рис. 85 показані приблизні криві напрямку головних напруг в балці, що називаються траєкторіями головних напруг. Напрям траєкторій залежить від виду навантаження та від умови спирання балки. Через кожну точку балки можна провести дві траєкторії головних напруг - розтягуючих та стискуючих.

 

Рис. 85

 

Для балки, показаній на рис. 85, траєкторії стискуючих напруг проведені пунктиром, а розтягуючих - суцільними лініями.

Траєкторії головних напруг в стінці стальної двотаврової балки вперше були побудовані Д. І. Журавським. Він вперше пояснив причину випучування стінки двотавра при втраті її стійкості як результат дії головних стискуючих напруг.

Перевірка міцності складених балок по головним напругам вперше була введена в практику проф. М. А. Белелюбським в 1870 р. при розрахунку клепаних мостових балок. Останнім часом вона замінена перевіркою так званої приведеної(або еквівалентної) напруги за формулою

s_пр = s_екв= . (97)

Ця формула отримана із формули (42), що виражає умову міцності для плоского напруженого стану за енергетичною теорією міцності, якщо в цю формулу підставити значення головних напруг s¢_max i s¢_min (або відповідно s₁ і s₃), що визначені за формулою (94).