Крутний момент. Побудова єпюри крутних моментів .

Для знаходження внутрішніх сил в перерізах бруса застосуємо метод перерізів. Розріжемо брус площиною 1–1 перпендикулярно його осі на відстані Z від закріпленого кінця, а потім, відкинувши праву його частину ( рис. 97, г ) замінимо її дію внутрішніми силами . На залишену частину діє тільки реактивний момент m в опорі . Тому очевидно, що внутрішні сили в поперечному перерізі 1 – 1 зрівноважать зовнішню пару з моментом m і будуть являти собою теж пару сил з моментом М_к .

Цей момент внутрішньої пари сил, що діє в площині поперечного перерізу бруса, називається крутним моментом та позначається М_к .

Для трансмісійного валу, на який насаджено декілька шківів, що передають обертання робочим органам станка, необхідно вміти визначати величини крутних моментів в поперечних перерізах кожної ділянки валу між шківами. В цьому випадку будують епюри крутних моментів М_к, щоб мати наочне уявлення про зміну їх величини по довжині валу .

Побудуємо єпюру крутних моментів для трансмісійного валу (рис. 98, а), що отримує від двигуна через пасову передачу та шківа А скручуючий момент m₁, який витрачається на приведення в дію робочих органів станка через шківи В, С і D.

Але вал, крім кручення, зазнає ще і згин від ваги шківів та натягу пасів, але при орієнтовному розрахунку валів, що розглядається в даному розділі, впливом згину нехтуємо .

Нехай m₁ = 5 кН·м, m₂=2 кН м, m₃= 1,5 кН м, m₄=1,5 кН м,

причому m₁ діє на вал від ведучого шківу ( в одну сторону ), а m₂, m₃ та m₄ - від ведених шківів ( в іншу сторону ).

Нехтуючи тертям в підшипниках, при стійкому рівномірному обертанні валу повинна виконуватись умова рівноваги

m₁ + m₂ + m₃ + m₄ = 0 .

Застосовуючи метод перерізів та розглянувши рівновагу любої із відсічених частин, знаходимо величину крутного моменту в перерізі, що розглядається .

Рис. 98

Крутний момент в довільному перерізі бруса чисельно дорівнює алгебраїчній сумі скручуючих моментів, що діють на брус по одну сторону від перерізу .

Домовимося рахувати знак крутного моменту по знаку скручуючого.

Якщо дивитися на відсічену частину зі сторони вільного кінця валу в напрямку до перерізу, і скручуючий момент при цьому направлений в сторону годинникової стрілки, то крутний момент в цьому перерізі будемо вважати додатнім. В протилежному випадку - від’ємним . Взагалі можна прийняти любе правило знаків за напрямком, але, при цьому треба тільки суворо дотримуватися якогось правила при побудові епюр по всій довжині валу.

Так як тертям в підшипниках ми нехтуємо, то зліва від шківа В та справа від шківа D крутні моменти в перерізах валу дорівнюють нулю. На ділянці ВА, зробивши переріз та відкинувши праву частину валу, діє скручуючий момент m₂ за годинникового стрілкою. Значить

Зробивши переріз на ділянці АС, та відкинувши теж праву частину маємо

Зробимо переріз на ділянці СD, та відкинемо ліву частину, тоді будемо мати

Відкладаючи від прийнятої осі абсцис в довільному масштабі ординати, що відповідають значенням крутних моментів в перерізах валу, що знайдені на його ділянках, отримаємо епюру крутних моментів (рис. 98, б).

Додатні значення крутних моментів можна відкладати як вище від осі, так і нижче.

Звернемо увагу на характер зміни ординат епюри крутних моментів . В тих її точках, які відповідають точкам прикладання скручуючих моментів, епюра робить стрибок на величину моменту.

§ 51. Напруги та деформації кручення.

В попередньому параграфі ми сказали, що в поперечному перерізі бруса при крученні виникають тільки дотичні напруги. Попробуємо розібратися, як ці напруги розподіляються по поперечному перерізу. Для цього застосуємо метод перерізів. Уявно виріжемо із круглого бруса елемент довжиною dz ( рис.99, а ), із якого в свою чергу виріжемо другий елемент довільного радіусу ρ ( рис. 99, б ) .

Припустимо ,що різниця повних зсувів двох перерізів на відстані dz буде nn₁, тоді відносний зсув . Якщо позначити досить малу різницю повних кутів закручування на довжині dz через dφ, то можна написати . Тоді вираз для відносного зсуву буде мати вигляд

Використаємо закон Гука для зсуву τ = G·γ. Підставивши сюди значення відносного зсуву, маємо:

де ρ - відстань від точки, що розглядається до осі брусу

Рис.99

Величина елементарної внутрішньої дотичної сили в довільній точці перерізу дорівнює τ·dA; момент цієї сили відносно осі бруса, .

Щоб отримати повний момент внутрішніх дотичних сил відносно осі бруса, необхідно додати елементарні моменти dM_z, тобто

або

але так як , то можна записати

або

Інтеграл являє собою полярний момент інерції площі перерізу, тому

звідки:

де dφ - елементарний кут закручування по довжині dz .

Повний кут закручування:

або остаточно:

(105)

Добуток G I_p називається жорсткістю перерізу бруса при крученні.

Із отриманої формули ( 105 ) бачимо, що величина кута закручування φ прямопропорційна крутному моменту М_к та довжині бруса l та обернено пропорційна жорсткості перерізу бруса при крученні G·I_ρ .

Величина кута закручування φ виміряється в радіанах . Щоб отримати φ в градусах, потрібно застосувати формулу:

(106)

Рис. 100

Підставляючи у вираз значення , отримаємо формулу для визначення дотичних напруг

або остаточно:

(107)

У формулі (107) величина постійна для даного перерізу, тому дотичні напруги змінюються прямопропорційно відстані ρ . Графічно закон зміни τ показаний на рис.100.

Найбільше значення величини дотичних напруг буде в крайніх точках перерізу бруса, тобто при ρ = ρ_max = r :

(108)

Величина називається полярним моментом опору перерізу бруса.

§ 52. Полярний момент опору для круга та кільця . Розрахунки валів на міцність та жорсткість.

Ми визначили величину полярного моменту опору перерізу .

Для круглого перерізу , підставляючи це значення у формулу моменту опору маємо:

, де

, остаточно:

(109)

Для кільцевого перерізу , , тоді полярний момент опору буде

(110)

Якщо задатися відношенням діаметрів , тоді отримаємо:

Бруси круглого перерізу, що працюють на кручення, в основному, застосовуються в машинобудуванні. Із таких брусів виготовлюють різного роду вали, які передають обертальний рух від одного агрегату до іншого.

Для розрахунку таких валів на міцність застосовують метод розрахунку по допустимим напругам, який є орієнтовним розрахунком валу, тому що основним розрахунком валів є розрахунок на жорсткість.

Формула розрахунку на міцність має вигляд

Як ми знаємо, за основною формулою можна робити три види розрахунків ; перевірний, проектний, визначення допустимого навантаження .

При розрахунках валів дуже часто бувають задані потужність N ( у Вт або кВт або к.с.) та кутова швидкість ω ( в рад/сек) або n ( в об/хв) . При цьому обертальний ( скручуючий ) момент, що передається визначається за однією із формул :

де М у Нм, N у вт і ω в рад/сек; або

де М у Нм, N у к.с. і n в об/хв; або

де М у Нм, N у квт і n в об/хв

Приклад 30. Перевірити міцність валу діаметром d=8см, якщо найбільший крутний момент . Допустима напруга для матеріалу

Розв´язок. Основна формула перевірного розрахунку має вигляд:

Знайдемо

Тоді найбільша напруга в перерізі валу

Умова міцності не виконується, це значить, що потрібно збільшити діаметр валу. Знайдемо потрібний діаметр валу, використовуючи формулу проектного розрахунку.

де М_к = 12кНм = 1200 кН см

[τ]=60МПа=6кН/см²

, тоді діаметр валу

, звідси ,

тобто умова міцності буде виконуватись якщо діаметр валу не менше d= 10 см.

Приклад 31. Замінити суцільний вал діаметром d_с= 15 см порожнистим валом, у якого відношення діаметрів . Знайти внутрішній та зовнішній діаметри порожнистого валу та порівняти його вагу із суцільним валом.

Розв´язок.Найбільші дотичні напруги в обох валах повинні бути однакові:

Звідси визначимо зовнішній діаметр порожнистого валу:

тоді

так як

приймаємо: D=264мм, d=250мм

Порівняємо вагу валів. Відношення ваги валів дорівнює відношенню їх площ поперечних перерізів. Знайдемо площі перерізу суцільного та порожнистого валів.

см²

Їх відношення , тобто порожнистий вал у 3,12 разів легший за суцільний.

На практиці дуже часто, крім умови міцності до валу пред'являється умова жорсткості. Вона заключається в тому, щоб кут закручування валу на одиниці його довжини не перевищував якоїсь наперед заданої величини. При розрахунку довгих валів ця умова пред'являється в першу чергу.

В залежності від швидкості обертання валів та умови їх роботи і завантаження допустимі кути закручування [φ] на 1 пог.м. довжини встановлені в межах