Здавалка
Главная | Обратная связь

Практические занятия 19



Кривые второго порядка

Окружность

Уравнение (х—a)2+ (у—b)2 = R2 (1)

определяет окружность радиуса R с центромС(a; b).

Если центр окружности совпадает с началом координат, т.е. если a = 0, b = 0, то уравнение (1) принимает вид

х2 + у2 = R2 (2) .

Решить задачи:

2.42.Составить уравнение окружности в каждом из следующих случаев:

1) центр окружности совпадает с началом координат и её ра­диус R = 3;

2) центр окружности совпадает с точкой С(2; — 3) и её радиус R = 7;

3) окружность проходит через начало координат и её центр совпадает с точкой С (6; — 8);

4) окружность проходит через точку А(2; 6) и её центр совпа­дает с точкой С(—1; 2);

5) точки А(3; 2) и В(—1; 6) являются концами одного из диа­метров окружности;

6) центр окружности совпадает с началом координат и прямая 3х — 4у + 20 = 0 является касательной к окружности;

7) центр окружности совпадает с точкой С(1; —1) и прямая

5х—12у + 9 = 0 является касательной к окружности;

8) окружность проходит через точки А(3; 1) и В(—1; 3), а её центр лежит на прямой 3ху — 2 = 0;

9) окружность проходит через три точки: А(1; 1), B(1; — 1) и С(2; 0);

10) окружность проходит через три точки: M1(— 1; 5), М2(— 2; — 2) и M3 (5; 5).

2.43. Точка С(3; — 1) является центром окружности, отсекающей на прямой 2х — 5у + 18 = 0

хорду, длина которой равна 6. Составить уравнение этой окруж­ности.

2.44. Написать уравнения окружностей радиуса R = , касаю­щихся прямой

х — 2у — 1=0 в точке М1 (3; 1).

2.45. Составить уравнение окружности, касающейся двух парал­лельных прямых: 2х + у — 5 = 0, 2х + у +15 = 0, причём одной из них — в точке А(2; 1).

2.46.Составить уравнения окружностей, которые проходят через точку А(1; 0) и касаются двух параллельных прямых:

2х + у + 2 = 0, 2х + у — 18 = 0.

2.47. Составить уравнение окружности, которая, имея центр на прямой

2х + у = 0, касается прямых 4х — 3у+10 = 0, 4х — 3у — 30 = 0.

2.48.Составить уравнения окружностей, касающихся двух пере­секающихся 2.49. Составить уравнения окружностей, проходящих через на­чало координат и касающихся двух пересекающихся прямых:

х + 2у – 9 = 0, 2ху + 2 = 0.

2.50. Составить уравнения окружностей, которые, имея центры на прямой

4х – 5у – 3 = 0,

касаются прямых 2х – 3у – 10 = 0, 3х – 2у + 5 = 0.

2.51. Написать уравнения окружностей, проходящих через точку А(–1; 5) и касающихся двух пересекающихся прямых:

2.52. Написать уравнения окружностей, касающихся трёх прямых:

4х – 3у – 10 = 0, 3х – 4у – 5 = 0 и 3х – 4у – 15 = 0.

2.53. Написать уравнения окружностей, касающихся трёх прямых:

3х + 4у – 35 = 0, 3х – 4у – 35 = 0 и х – 1 = 0.

2.54. Какие из нижеприводимых уравнений определяют окружно­сти? Найти центр С и радиус R каждой из них:

1) (х – 5)2 + (у + 2)2 = 25; 2) (х + 2)2 + у2 = 64;

3) (х—5)2 + (у + 2)2 = 0; 4) х2 + (у – 5)2 = 5;

5) х2+у2 – 2х + 4у – 20 = 0; 6) х2+у2 – 2х + 4у + 14 = 0;

7) х2 + у2 + 4х – 2у + 5 = 0; 8) х2 + у2 + х = 0,

9) х2 + у2 + 6х – 4у + 14 = 0; 10) х2 + у2 + у =0

2.55.Установить, какие линии определяются следующими уравне­ниями:

1) ; 6) ;

2) ; 7) ;

3) ; 8) ;

4) ; 9) ;

5) ; 10) .

Изобразить эти линии на чертеже.

Эллипс

Основные теоретические сведения.Эллипс – геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (большая, чем расстояние между фокусами).

каноническое уравнение эллипса;

;

F1(-c,0), F2(c,0) – фокусы;

- эксцентриситет (ε<1);

- уравнения директрис.

 

Решить задачи:

2.56. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что:

1) его полуоси равны 5 и 2;

2) его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами 2с = 8;

3) его малая ось равна 24, а расстояние между фокусами 2с =10;

4) расстояние между его фокусами 2с = 6 и эксцентриситет ;

5) его большая ось равна 20, а эксцентриситет ;

6) его малая ось равна 10, а эксцентриситет ;

7) расстояние между его директрисами равно 5 и расстояние между фокусами 2с = 4;

8) его большая ось равна 8, а расстояние между директрисами равно 16;

9) его малая ось равна 6, а расстояние между директрисами равно 13;

10) расстояние между его директрисами равно 32 и .

2.57. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат, симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что:

1) его полуоси равны соответственно 7 и 2;

2) его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами 2с = 8;

3) расстояние между его фокусами 2с = 24 и эксцентриситет

4) его малая ось равна 16, а эксцентриситет

5) расстояние между его фокусами 2с = 6 и расстояние между директрисами равно 16

6) расстояние между его директрисами равно и эксцентриситет

2.58. Определить полуоси каждого из следующих эллипсов:

1) ; 2) ; 3)х2 + 25у2 = 25;

4) х2 + 5y2 = 15; 5) 4х2 + 9у2 = 25; 6) 9х2 + 25у2 = 1;

7) х2 + 4у2 = 1; 8) 16х2 + у2 = 16; 9) 25х2 + 9у2 = 1;

10) 9х2 + у2 = 1.

2.59. Дан эллипс 9х2 + 25у2 = 225. Найти: 1) его полуоси; 2) фо­кусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения директрис.

2.60. Вычислить площадь четырёхугольника, две вершины кото­рого лежат в фокусах эллипса

х2 + 5у2 = 20,

а две другие совпадают с концами его малой оси.

2.61. Дан эллипс 9х2 + 5у2 = 45. Найти: 1) его полуоси; 2) фо­кусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения директрис.

2.62. Вычислить площадь четырёхугольника, две вершины кото­рого лежат в фокусах эллипса

9х2 + 5у2 = 1,

две другие совпадают с концами его малой оси.

2.63. Вычислить расстояние от фокуса F(c; 0) эллипса

до односторонней с этим фокусом директрисы.

2.64. Определить, какие из точек A1(—2; 3), А2(2; —2), А3 (2; —4), А4(—1; 3), А5(—4; —3), А6(3; —1), А7(3; —2), А8 (2; 1), А9(0; 15) и А10(0; —16) лежат на эллипсе 8х2+5у2 = 77, какие внутри и какие вне его.

2.65. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Изобразить эти линии на чертеже.

2.66. Эксцентриситет эллипса , фокальный радиус точки М эллипса равен 10. Вычислить расстояние от точки М до односто­ронней с этим фокусом директрисы.

2.67. Эксцентриситет эллипса , расстояние от точки М эллипса до директрисы равно 20. Вычислить расстояние от точки М до фокуса, одностороннего с этой директрисой.

2.68. Дана точка М1 (2; ) на эллипсе составить уравнения прямых, на которых лежат фокальные радиусы точки M1.

2.69. Убедившись, что точка М1 (— 4; 2,4) лежит на эллипсе определить фокальные радиусы точки М1.

2.70. Эксцентриситет эллипса , центр его совпадает с началом координат, один из фокусов F(—2; 0). Вычислить расстояние от точки M1 эллипса с абсциссой, равной 2, до директрисы, односторонней с данным фокусом.

2.71. Эксцентриситет эллипса , центр его совпадает с на­чалом координат, одна из директрис дана уравнением х =16. Вы­числить расстояние от точки M1 эллипса с абсциссой, равной - 4, до фокуса, одностороннего с данной директрисой.

2.72. Определить точки эллипса , расстояние которых

до правого фокуса равно 14.

2.73. Определить точки эллипса , расстояние которых

до левого фокуса равно 2,5.

2.74. Через фокус эллипса проведён перпендикуляр

к его большой оси. Определить расстояния от точек пересечения этого перпендикуляра с эллипсом до фокусов.

2.75. Составить уравнение эллипса, фокусы которого располо­жены на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, если даны:

1) точка М1 (—2 ; 2) эллипса и его малая полуось b = 3;

2) точка M2 (2;—2) эллипса и его большая полуось а = 4;

3) точки M1(4;_— ) и М2(2 ; 3) эллипса;

4) точка M1 ( ; —1) эллипса и расстояние между его фо­кусами 2с =8;

5) точка М1 (2; — эллипса и его эксцентриситет ;

6) точка M1 (8; 12) эллипса и расстояние r1 = 20 от неё до левого фокуса;

7) точка M1 (— ; 2) эллипса и расстояние между его дирек­трисами равно 10.

2.76. Определить эксцентриситет e эллипса, если:

1) его малая ось видна из фокусов под углом в 60°;

2) отрезок между фокусами виден из вершин малой оси под прямым углом;

3) расстояние между дирек­трисами в три раза больше рас­стояния между фокусами;

4) отрезок перпендикуляра, опущенного из центра эллипса на его директрису, делится вер­шиной эллипса пополам.

2.77. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, и найти координаты его центра С, полуоси, эксцен­триситет и уравнения директрис:

1) 5х2 + 9у2 — 30х + 18у + 9 = 0;

2) 16х2 + 25у2 + 32х — 100у — 284 = 0;

3) 4х2 + 3у2 — 8х + 12у —32 = 0.

2.78. Установить, какие линии определяются следующими урав­нениями:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Изобразить эти линии на чертеже.

 

 

Гипербола

Основные теоретические сведения.Гипербола - геометрическое место точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между фокусами).

каноническое уравнение гиперболы;

;

F1(-c,0), F2(c,0) – фокусы;

- эксцентриситет (ε>1);

- уравнения директрис;

- уравнения асимптот.

 

Решить задачи:

2.79. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой располо­жены на оси абсцисс, симметрично относительно начала коорди­нат, зная, кроме того, что:

1) её оси 2а = 10 и 2b = 8;

2) расстояние между фокусами 2с =10 и ось 2b = 8;

3) расстояние между фокусами 2с = 6 и эксцентриситет ε = ;

4) ось 2a = 16 и эксцентриситет ε = ;

5) уравнения асимптот

y = ±

и расстояние между фокусами 2с — 20;

6) расстояние между директрисами равно 22 — и расстояние между фокусами 2с = 26;

7) расстояние между директрисами равно и ось 2b = 6;

8) расстояние между директрисами равно и эксцентриситет ε = ;

9) уравнения асимптот у = ± и расстояние между директрисами равно 12 516.

2.80.Составить уравнение гиперболы, фокусы которой располо­жены на оси ординат, симметрично относительно начала коорди­нат, зная, кроме того, что:

1) её полуоси а = 6, b = 18 (буквой а мы обозначаем полуось гиперболы, расположенную на оси абсцисс);

2) расстояние между фокусами 2с =10 и эксцентриситет ε = ;

3) уравнения асимптот у = ± и расстояние между вершинами равно 48;

4) расстояние между директрисами равно и эксцентриси­тет ε = ;

5) уравнения асимптот у = ± и расстояние между директрисами равно .

2.81. Определить полуоси а и b каждой из следующих гипербол:

1) ; 2) 3) х2— 4у2 = 16;

4) х2у2 = 1; 5) 4х2 — 9у2 = 25; 6) 25х2 — 16у2 = 1;

7) 9х2 —16у2=1.

2.82.. Дана гипербола 16х2 — 9у2=144. Найти: 1) полуоси а и b; 2) фокусы;

3) эксцентриситет; 4) уравнения асимптот; 5) урав­нения директрис.

2.83. Дана гипербола 16х2 — 9у2 = —144. Найти: 1) полуоси а и b; 2) фокусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения асимптот; 5) урав­нения директрис.

9х + 2у — 24 = 0.

2.84. Установить, какие линии определяются следующими урав­нениями:

1) y = + , 2) y = —3 ,

3) х = — , 4) у = + .

Изобразить эти линии на чертеже.

2.85. Дана точка М1(10; — ) на гиперболе .

Составить уравнения прямых, на которых лежат фокальные радиусы точки M1.

2.86. Убедившись, что точка М1(— 5; ) лежит на гиперболе ,

определить фокальные радиусы точки M1.

2.87. Эксцентриситет гиперболы ε = 2, фокальный радиус ей точки М, проведённый из некоторого фокуса, равен 16. Вычислить расстояние от точки М до односторонней с этим фокусом дирек­трисы.

2.88. Эксцентриситет гиперболы ε = 3, расстояние от точки М гиперболы до директрисы равно 4. Вычислить расстояние от точки М до фокуса, одностороннего с этой директрисой.

2.89. Определить точки гиперболы , расстояние которых до правого фокуса равно 4,5.

2.90. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если даны:

1) точки M1(6; —1) и М2(—8; 2 ) гиперболы;

2) точка M1(— 5; 3) гиперболы и эксцентриситет ε = ;

3) точка M1( ; —1) гиперболы и уравнения асимптот y = ± ;

4) точка M1(—3; ) гиперболы и уравнения директрис y = ± ;

5) уравнения асимптот у = ± и уравнения директрис x = ± ;

2.91. Фокусы гиперболы совпадают с фокусами эллипса

Составить уравнение гиперболы, если её эксцентри­ситет ε = 2.

2.92. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат в вершинах эллипса = 1, а директрисы проходят через фокусы этого эллипса.

до двух её асимптот есть величина постоянная, равная .

и прямыми, проведёнными через любую её точку параллельно асимптотам, есть величина постоянная, равная .

2.93. Установить, что каждое из следующих уравнений опреде­ляет гиперболу, и найти координаты её центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис:

1) 16х2 — 9у9 — 64х — 54у—161 = 0;

2) 9х2 — 16у2 + 90х + 32у — 367 = 0;

3) 16х2 — 9у2 — 64х—18у+199 = 0.

2.94. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:

1) у = — 1+ , 2) у = 7—— ,

3) х = 9 — 2 , 4) х = 5 .

Изобразить эти линии на чертеже.

 

 

Парабола







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.