Практические занятия 19
Кривые второго порядка Окружность Уравнение (х—a)2+ (у—b)2 = R2 (1) определяет окружность радиуса R с центромС(a; b). Если центр окружности совпадает с началом координат, т.е. если a = 0, b = 0, то уравнение (1) принимает вид х2 + у2 = R2 (2) . Решить задачи: 2.42.Составить уравнение окружности в каждом из следующих случаев: 1) центр окружности совпадает с началом координат и её радиус R = 3; 2) центр окружности совпадает с точкой С(2; — 3) и её радиус R = 7; 3) окружность проходит через начало координат и её центр совпадает с точкой С (6; — 8); 4) окружность проходит через точку А(2; 6) и её центр совпадает с точкой С(—1; 2); 5) точки А(3; 2) и В(—1; 6) являются концами одного из диаметров окружности; 6) центр окружности совпадает с началом координат и прямая 3х — 4у + 20 = 0 является касательной к окружности; 7) центр окружности совпадает с точкой С(1; —1) и прямая 5х—12у + 9 = 0 является касательной к окружности; 8) окружность проходит через точки А(3; 1) и В(—1; 3), а её центр лежит на прямой 3х — у — 2 = 0; 9) окружность проходит через три точки: А(1; 1), B(1; — 1) и С(2; 0); 10) окружность проходит через три точки: M1(— 1; 5), М2(— 2; — 2) и M3 (5; 5). 2.43. Точка С(3; — 1) является центром окружности, отсекающей на прямой 2х — 5у + 18 = 0 хорду, длина которой равна 6. Составить уравнение этой окружности. 2.44. Написать уравнения окружностей радиуса R = , касающихся прямой х — 2у — 1=0 в точке М1 (3; 1). 2.45. Составить уравнение окружности, касающейся двух параллельных прямых: 2х + у — 5 = 0, 2х + у +15 = 0, причём одной из них — в точке А(2; 1). 2.46.Составить уравнения окружностей, которые проходят через точку А(1; 0) и касаются двух параллельных прямых: 2х + у + 2 = 0, 2х + у — 18 = 0. 2.47. Составить уравнение окружности, которая, имея центр на прямой 2х + у = 0, касается прямых 4х — 3у+10 = 0, 4х — 3у — 30 = 0. 2.48.Составить уравнения окружностей, касающихся двух пересекающихся 2.49. Составить уравнения окружностей, проходящих через начало координат и касающихся двух пересекающихся прямых: х + 2у – 9 = 0, 2х – у + 2 = 0. 2.50. Составить уравнения окружностей, которые, имея центры на прямой 4х – 5у – 3 = 0, касаются прямых 2х – 3у – 10 = 0, 3х – 2у + 5 = 0. 2.51. Написать уравнения окружностей, проходящих через точку А(–1; 5) и касающихся двух пересекающихся прямых: 2.52. Написать уравнения окружностей, касающихся трёх прямых: 4х – 3у – 10 = 0, 3х – 4у – 5 = 0 и 3х – 4у – 15 = 0. 2.53. Написать уравнения окружностей, касающихся трёх прямых: 3х + 4у – 35 = 0, 3х – 4у – 35 = 0 и х – 1 = 0. 2.54. Какие из нижеприводимых уравнений определяют окружности? Найти центр С и радиус R каждой из них: 1) (х – 5)2 + (у + 2)2 = 25; 2) (х + 2)2 + у2 = 64; 3) (х—5)2 + (у + 2)2 = 0; 4) х2 + (у – 5)2 = 5; 5) х2+у2 – 2х + 4у – 20 = 0; 6) х2+у2 – 2х + 4у + 14 = 0; 7) х2 + у2 + 4х – 2у + 5 = 0; 8) х2 + у2 + х = 0, 9) х2 + у2 + 6х – 4у + 14 = 0; 10) х2 + у2 + у =0 2.55.Установить, какие линии определяются следующими уравнениями: 1) ; 6) ; 2) ; 7) ; 3) ; 8) ; 4) ; 9) ; 5) ; 10) . Изобразить эти линии на чертеже. Эллипс Основные теоретические сведения.Эллипс – геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (большая, чем расстояние между фокусами). каноническое уравнение эллипса; ; F1(-c,0), F2(c,0) – фокусы; - эксцентриситет (ε<1); - уравнения директрис.
Решить задачи: 2.56. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что: 1) его полуоси равны 5 и 2; 2) его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами 2с = 8; 3) его малая ось равна 24, а расстояние между фокусами 2с =10; 4) расстояние между его фокусами 2с = 6 и эксцентриситет ; 5) его большая ось равна 20, а эксцентриситет ; 6) его малая ось равна 10, а эксцентриситет ; 7) расстояние между его директрисами равно 5 и расстояние между фокусами 2с = 4; 8) его большая ось равна 8, а расстояние между директрисами равно 16; 9) его малая ось равна 6, а расстояние между директрисами равно 13; 10) расстояние между его директрисами равно 32 и . 2.57. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат, симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что: 1) его полуоси равны соответственно 7 и 2; 2) его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами 2с = 8; 3) расстояние между его фокусами 2с = 24 и эксцентриситет 4) его малая ось равна 16, а эксцентриситет 5) расстояние между его фокусами 2с = 6 и расстояние между директрисами равно 16 6) расстояние между его директрисами равно и эксцентриситет 2.58. Определить полуоси каждого из следующих эллипсов: 1) ; 2) ; 3)х2 + 25у2 = 25; 4) х2 + 5y2 = 15; 5) 4х2 + 9у2 = 25; 6) 9х2 + 25у2 = 1; 7) х2 + 4у2 = 1; 8) 16х2 + у2 = 16; 9) 25х2 + 9у2 = 1; 10) 9х2 + у2 = 1. 2.59. Дан эллипс 9х2 + 25у2 = 225. Найти: 1) его полуоси; 2) фокусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения директрис. 2.60. Вычислить площадь четырёхугольника, две вершины которого лежат в фокусах эллипса х2 + 5у2 = 20, а две другие совпадают с концами его малой оси. 2.61. Дан эллипс 9х2 + 5у2 = 45. Найти: 1) его полуоси; 2) фокусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения директрис. 2.62. Вычислить площадь четырёхугольника, две вершины которого лежат в фокусах эллипса 9х2 + 5у2 = 1, две другие совпадают с концами его малой оси. 2.63. Вычислить расстояние от фокуса F(c; 0) эллипса до односторонней с этим фокусом директрисы. 2.64. Определить, какие из точек A1(—2; 3), А2(2; —2), А3 (2; —4), А4(—1; 3), А5(—4; —3), А6(3; —1), А7(3; —2), А8 (2; 1), А9(0; 15) и А10(0; —16) лежат на эллипсе 8х2+5у2 = 77, какие внутри и какие вне его. 2.65. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Изобразить эти линии на чертеже. 2.66. Эксцентриситет эллипса , фокальный радиус точки М эллипса равен 10. Вычислить расстояние от точки М до односторонней с этим фокусом директрисы. 2.67. Эксцентриситет эллипса , расстояние от точки М эллипса до директрисы равно 20. Вычислить расстояние от точки М до фокуса, одностороннего с этой директрисой. 2.68. Дана точка М1 (2; ) на эллипсе составить уравнения прямых, на которых лежат фокальные радиусы точки M1. 2.69. Убедившись, что точка М1 (— 4; 2,4) лежит на эллипсе определить фокальные радиусы точки М1. 2.70. Эксцентриситет эллипса , центр его совпадает с началом координат, один из фокусов F(—2; 0). Вычислить расстояние от точки M1 эллипса с абсциссой, равной 2, до директрисы, односторонней с данным фокусом. 2.71. Эксцентриситет эллипса , центр его совпадает с началом координат, одна из директрис дана уравнением х =16. Вычислить расстояние от точки M1 эллипса с абсциссой, равной - 4, до фокуса, одностороннего с данной директрисой. 2.72. Определить точки эллипса , расстояние которых до правого фокуса равно 14. 2.73. Определить точки эллипса , расстояние которых до левого фокуса равно 2,5. 2.74. Через фокус эллипса проведён перпендикуляр к его большой оси. Определить расстояния от точек пересечения этого перпендикуляра с эллипсом до фокусов. 2.75. Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, если даны: 1) точка М1 (—2 ; 2) эллипса и его малая полуось b = 3; 2) точка M2 (2;—2) эллипса и его большая полуось а = 4; 3) точки M1(4;_— ) и М2(2 ; 3) эллипса; 4) точка M1 ( ; —1) эллипса и расстояние между его фокусами 2с =8; 5) точка М1 (2; — эллипса и его эксцентриситет ; 6) точка M1 (8; 12) эллипса и расстояние r1 = 20 от неё до левого фокуса; 7) точка M1 (— ; 2) эллипса и расстояние между его директрисами равно 10. 2.76. Определить эксцентриситет e эллипса, если: 1) его малая ось видна из фокусов под углом в 60°; 2) отрезок между фокусами виден из вершин малой оси под прямым углом; 3) расстояние между директрисами в три раза больше расстояния между фокусами; 4) отрезок перпендикуляра, опущенного из центра эллипса на его директрису, делится вершиной эллипса пополам. 2.77. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, и найти координаты его центра С, полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис: 1) 5х2 + 9у2 — 30х + 18у + 9 = 0; 2) 16х2 + 25у2 + 32х — 100у — 284 = 0; 3) 4х2 + 3у2 — 8х + 12у —32 = 0. 2.78. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Изобразить эти линии на чертеже.
Гипербола Основные теоретические сведения.Гипербола - геометрическое место точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между фокусами). каноническое уравнение гиперболы; ; F1(-c,0), F2(c,0) – фокусы; - эксцентриситет (ε>1); - уравнения директрис; - уравнения асимптот.
Решить задачи: 2.79. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что: 1) её оси 2а = 10 и 2b = 8; 2) расстояние между фокусами 2с =10 и ось 2b = 8; 3) расстояние между фокусами 2с = 6 и эксцентриситет ε = ; 4) ось 2a = 16 и эксцентриситет ε = ; 5) уравнения асимптот y = ± и расстояние между фокусами 2с — 20; 6) расстояние между директрисами равно 22 — и расстояние между фокусами 2с = 26; 7) расстояние между директрисами равно и ось 2b = 6; 8) расстояние между директрисами равно и эксцентриситет ε = ; 9) уравнения асимптот у = ± и расстояние между директрисами равно 12 516. 2.80.Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат, симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что: 1) её полуоси а = 6, b = 18 (буквой а мы обозначаем полуось гиперболы, расположенную на оси абсцисс); 2) расстояние между фокусами 2с =10 и эксцентриситет ε = ; 3) уравнения асимптот у = ± и расстояние между вершинами равно 48; 4) расстояние между директрисами равно и эксцентриситет ε = ; 5) уравнения асимптот у = ± и расстояние между директрисами равно . 2.81. Определить полуоси а и b каждой из следующих гипербол: 1) ; 2) 3) х2— 4у2 = 16; 4) х2 —у2 = 1; 5) 4х2 — 9у2 = 25; 6) 25х2 — 16у2 = 1; 7) 9х2 —16у2=1. 2.82.. Дана гипербола 16х2 — 9у2=144. Найти: 1) полуоси а и b; 2) фокусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения асимптот; 5) уравнения директрис. 2.83. Дана гипербола 16х2 — 9у2 = —144. Найти: 1) полуоси а и b; 2) фокусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения асимптот; 5) уравнения директрис. 9х + 2у — 24 = 0. 2.84. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями: 1) y = + , 2) y = —3 , 3) х = — , 4) у = + . Изобразить эти линии на чертеже. 2.85. Дана точка М1(10; — ) на гиперболе . Составить уравнения прямых, на которых лежат фокальные радиусы точки M1. 2.86. Убедившись, что точка М1(— 5; ) лежит на гиперболе , определить фокальные радиусы точки M1. 2.87. Эксцентриситет гиперболы ε = 2, фокальный радиус ей точки М, проведённый из некоторого фокуса, равен 16. Вычислить расстояние от точки М до односторонней с этим фокусом директрисы. 2.88. Эксцентриситет гиперболы ε = 3, расстояние от точки М гиперболы до директрисы равно 4. Вычислить расстояние от точки М до фокуса, одностороннего с этой директрисой. 2.89. Определить точки гиперболы , расстояние которых до правого фокуса равно 4,5. 2.90. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если даны: 1) точки M1(6; —1) и М2(—8; 2 ) гиперболы; 2) точка M1(— 5; 3) гиперболы и эксцентриситет ε = ; 3) точка M1( ; —1) гиперболы и уравнения асимптот y = ± ; 4) точка M1(—3; ) гиперболы и уравнения директрис y = ± ; 5) уравнения асимптот у = ± и уравнения директрис x = ± ; 2.91. Фокусы гиперболы совпадают с фокусами эллипса Составить уравнение гиперболы, если её эксцентриситет ε = 2. 2.92. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат в вершинах эллипса = 1, а директрисы проходят через фокусы этого эллипса. до двух её асимптот есть величина постоянная, равная . и прямыми, проведёнными через любую её точку параллельно асимптотам, есть величина постоянная, равная . 2.93. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, и найти координаты её центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис: 1) 16х2 — 9у9 — 64х — 54у—161 = 0; 2) 9х2 — 16у2 + 90х + 32у — 367 = 0; 3) 16х2 — 9у2 — 64х—18у+199 = 0. 2.94. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями: 1) у = — 1+ , 2) у = 7—— , 3) х = 9 — 2 , 4) х = 5 . Изобразить эти линии на чертеже.
Парабола ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|