 |
|
Операции над векторами
Разложение произвольного вектора по трем некомпланарным векторам. Операции над координатами векторов. Угол между векторами. Проекция вектора на ось.
Если 
, то
1) 
- длина вектора;
2) 
;
3) 
, k- число;
4) 
.
Если заданы две точки A(x1, y1, z1) , B(x2, y2, z2), то
1) 
2) если 
, тогда координаты точки С, делящей отрезок в заданном отношении, находятся по формулам:
В частности, если С – середина отрезка, то
.
Пример №12.1.По координатам 
; 
; 
вершин треугольника найти длины сторон 
и 
.
Решение: Длины сторон и равны длинам векторов 
и 
.
Найдем координаты векторов и 
;
, 
.
Длины векторов найдем по формуле: 
.
, 
.
Ответ: 
; 
.
Пример № 12.2.Найдем разложение вектора 
по базису трех векторов 
, 
и 
, то есть 
, где 
- неизвестные величины, для нахождения этих величин составим систему уравнений:
, из условия 
.
Решим систему методом Гаусса. Первое и третье уравнения системы оставляем без изменения, для получения второго уравнения умножим первое на 2 и сложим со вторым:
Первых два уравнения оставим без изменения, а для получения третьего умножим второе на -2 и сложим с третьим:
Таким образом, 
.
Ответ: 
.
Решить задачи:
1. Вычислить модуль вектора 
= {6; 3; -2} .
2. Даны две координаты вектора 
, 
.Определить его третью координату 
при условии, что | | = 13.
3. Определить начало вектора = {2; -3; -1}, если его конец совпадает с точкой (1; -1; 2) .
4. Вычислить направляющие косинусы вектора = 
5. Вектор составляет осями ох и оz углы 
Какой угол он составляет с осью 
?
6. По данным векторам 
построить каждый из следующих векторов: 3) 2 
+ 
4) 
.
7. Даны : | | = 13, | 
| = 19 и | 
| = 24. Вычислить | 
|.
8. Даны два вектора = {3; -2; 6} и {-2, 1, 10} определить проекции на координатные оси следующих векторов: 5) 2 +3 , 6) 
.
9. Даны три вершины параллелограмма ABCD: 
, 
, 
. Найдите вершину D.
10. Даны точки A (-1; 5; -10), В (5; 7; 8), С(2; 2; -7) и D (5; -4; 2). Проверить, что векторы 
коллинеарны, установить, какой из них длиннее другого и во сколько раз, как они направлены в одну или противоположные стороны.
11. Найти орт вектора = {6; -2; -3}.
12. На плоскости даны два вектора 
= {2; 3} и 
= {1; 2}. Найти разложение вектора = {9; 4} по базису и .
13. Даны три вектора = {3; 2; -1}, = {-1; 1;-2} и> 
= {2; 1; -3}. Найти разложение вектора 
= {11; -6; 5} по базису , , > .
14. Даны четыре вектора = {2; 1; 0}, {1, -1, 2}, = {2; 2; 1}и 
= {3; 7; -7}. Определить разложение вектора по базису 
.