 |
|
Связь между напряженностью и потенциалом поля.
Для установления связи между силовой характеристикой электрического поля - напряжённостью и его энергетической характеристикой - потенциалом рассмотрим элементарную работу сил электрического поля на бесконечно малом перемещении точечного заряда q: dA = q Edl, эта же работа равна убыли потенциальной энергии заряда q: dA = - dWп = - q d 
,где d - изменение потенциала электрического поля на длине перемещения dl. Приравнивая правые части выражений, получаем: Edl = -d или в декартовой системе координат Ex dx + Ey dy + Ez dz = -d
где Ex, Ey, Ez - проекции вектора напряженности на оси системы координат. Поскольку выражение представляет собой полный дифференциал, то для проекций вектора напряженности имеем
откуда 
.Стоящее в скобках выражение является градиентом потенциала j, т. е.E= - grad = -Ñ .
Напряжённость в какой-либо точке электрического поля равна градиенту потенциала в этой точке, взятому с обратным знаком. Знак «минус» указывает, что напряженность Eнаправлена в сторону убывания потенциала. Рассмотрим электрическое поле, создаваемое положительным точечным зарядом q. Потенциал поля в точке М, положение которой определяется радиус-вектором r, равен = q / 4pe0er. Направление радиус-вектора rсовпадает с направлением вектора напряженности E, а градиент потенциала направлен в противоположную сторону. Проекция градиента на направление радиус-вектора 
.
Проекция же градиента потенциала на направление вектора t, перпендикулярного вектору r, равна 
, т. е. в этом направлении потенциал электрического поля является постоянной величиной ( = const).В рассмотренном случае направление вектора rсовпадает с направлением 
силовых линий. Обобщая полученный результат, можно утверждать, что во всех точках кривой, ортогональной к силовым линиям, потенциал электрического поля одинаков. Геометрическим местом точек с одинаковым потенциалом является эквипотенциальная поверхность, ортогональная к силовым линиям. 
При графическом изображении электрических полей часто используют эквипотенциальные поверхности. Обычно эквипотенциали проводят таким образом, чтобы разность потенциалов между любыми двумя эквипотенциальными поверхностями была одинакова. На рис. приведена двухмерная картина электрического поля. Силовые линии показаны сплошными линиями, эквипотенциали - штриховыми.