 |
|
Применение теоремы Гаусса.
Чтобы найти напряженность с помощью теорем Гаусса, нужно взять интеграл. А как его взять, если мы Е еще только пытаемся найти? Кроме того, под интегралом «мешает» cosa. Надо суметь выбрать такую замкнутую поверхность (ее удобно называть гауссовой), в каждой точке которой было бы Е = const, и cosa = const. Тогда в левой части теоремы Е и cosa можно будет вынести из-под знака интеграла. Поэтому практически теорему Гаусса можно применить только в следующих случаях: сфера, шар, длинная нить, длинный цилиндр, бесконечная плоскость.
1) Сфера,заряженная с поверхностной плотностью заряда s (Кл/м2)
Рассмотрим области : 1) вне сферы ( 
) и внутри ее ( 
). Выберем поверхности: 1) S1 и 2) S2 – обе поверхности – сферы, концентрические с заряженной сферой. Сначала найдем потоки вектора Е через выбранные поверхности, а затем воспользуемся теоремой.
 (¨)
| Потоки вектора Е через S1 ( ) и S2. ( )
E^n, a = 0, cosa = 1.
| 
| |
 (¨¨)
| по теореме Гаусса; F2 = 0, т.к. S2 не охватывает никаких зарядов. Приравнивая потоки из (¨) и (¨¨), найдем E(r). | ||
| |||
 
q = s×2pR2 – полный заряд сферы
| Вне сферы поле такое же, как поле точечного заряда. На границе сферы происходит скачок напряженности. |
2)Тонкая длинная нить,заряженная с линейной плотностью заряда t (Кл/м)
В этом случае «гауссова» поверхность – соосный с нитью цилиндр длиной l.
Сначала найдем поток, потом воспользуемся теоремой Гаусса.
| Разобьем поверхность цилиндра на боковую и две торцевых. Для боковой - cosa = 1, для торцевых - cosa = 0. | 
| |
| по теореме Гаусса; охватываемый заряд – это отрезок нити длиной l. Приравнивая и сокращая, получим E(r). | ||
| |||
|
3) Тонкостенный длинный цилиндр, заряженный:
1) с линейной плотностью заряда t или
2)с поверхностной плотностью заряда s.
Этот пример аналогичен предыдущему. Выбираем гауссову поверхность в виде соосного цилиндра, разбиваем поверхность на боковую и две торциальные. В первом случае при заданной линейной плотности t получим такую же формулу, как идля длинной нити. Во втором случае охватываемый заряд равен (s×2p×R×l) и формула для E несколько иная, хотя зависимость от r – та же.
| 
| 
|
4) Плоскость, бесконечно протяженная, заряженная с поверхностной плотностью заряда s.
Выберем гауссову поверхность S в виде цилиндра, перпендикулярного заряженной плоскости. Высота цилиндра (2×х/2). [9] Разобьем поверхность на боковую и две торцевых.
| поток через Sбок = 0, т.к.× E^n, a = 90о и cosa = 0 | 
| ||
| Sзаштрих – площадка с зарядом, охватываемым цилиндром | |||
| ||||
| S заштрих = S торц, т.к. образующие цилиндра перпендикулярны заряженной плоскости. Поле протяженной плоскости – однородное и не зависит от расстояния | |||
5) Две плоскости, параллельные, разноименно заряженные (плоский конденсатор). В этом случае напряженность поля можно найти по принципу суперпозиции, зная напряженность поля одной плоскости: 
| 
| 
|
| A) ЕА = Е2 - Е1 = 0 B) ЕВ = Е2 + Е1 =s /eо C) ЕС = Е1 - Е2 =0 | ||
| Поле плоского конденсатора можно считать однородным с достаточной степенью точности, если расстояние между пластинами значительно больше размеров пластин. |