Уравнение плоскости в отрезкахСтр 1 из 4Следующая ⇒
Лекция 10 . Плоскость в пространстве Плоскость в пространстве Определение 10.10. Плоскостью называется геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению: (10.1) Если левая часть (10.1) есть многочлен, то плоскость называется алгебраической, степень этого многочлена должна быть единицей, т.к. плоскость – это поверхность первого порядка. Пусть в декартовой системе координат дана некоторая плоскость a, точка . Определение 10.2. Любой вектор , перпендикулярный плоскости a, будем называть нормальным вектором этой плоскости - .
Пусть - произвольная точка пространства. Рассмотрим вектор . Если точка , то . Если точка , то эти векторы не перпендикулярны. Таким образом, условием принадлежности точки М к плоскости a является условие, , т.е. . (10.2) Это и есть уравнение плоскости. Распишем его в координатах. Т.к. (10.3)
Это уравнение плоскости, проходящее через точку и перпендикулярно вектору где , - координаты точки известной точки, - координаты точки М – текущей точки плоскости. Пример 10.1. . Написать уравнение плоскости ; - уравнение плоскости. Раскроем скобки в уравнении (10.3), получим: - общее уравнение плоскости, (10.4), где . Общее уравнение плоскости и его исследование Рассмотрим уравнение (10.4) , , - текущие координаты. 1) Þ не перпендикулярен ни одной из осей координат, т.к не удовлетворяют уравнению (10.4), то плоскость не проходит через начало координат. 2) вектор не перпендикулярен ни одной из осей координат и значит, плоскость не параллельна ни одной из осей координат, т.к. , то плоскость проходит через начало координат.
3) , а плоскость . Если: , то содержит ось . 4) , то плоскость параллельна Оу, при плоскость содержит ось Оу. 5) , то плоскость параллельна оси , , то плоскость содержит ось . 2) () 3) А=С=0, Ву+D=0, () 4) В=С=0, Ах+D=0, () 5) А=В=С=0 Þ D=0; при , уравнение теряет смысл; при , уравнение плоскость не определяет. Уравнение плоскости в отрезках Пусть плоскость a не параллельна ни одной из осей и не проходит через точку . Тогда она задается общим уравнением (10.4): , где . Пусть плоскость пересекает оси координат в точках . Т.к. , то её координаты удовлетворяют уравнению плоскости: Для Р: ,
Для Q: , Для R: . Подставляя в уравнение плоскости и разделив на «–D» получим: - уравнение плоскости в отрезках (10.5) ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|