Здавалка
Главная | Обратная связь

Гиперболический параболоид



Определение.Поверхность, которая в декартовой системе координат определяется уравнением: (12.7)

Называется гиперболическим параболоидом.

Исследуем уравнение (12.7).

Рассмотрим сечение плоскостью , т.е. .

- парабола симметрична относительно оси с вершнами в начале координат. Теперь рассмотрим сечения (12.7) плоскости, параллельной .

- парабола, ветви которой направлены вниз и симметрично относительно . Все эти параболы будут находится, вершинами на восходящей параболе , и как бы перемещаться вершиной по линии предыдущей параболы. Сечение гиперболического параболоида плоскостями, параллельными .

- гипербола, симметричная относительно плоскостей .

Вывод: Гиперболический параболоид имеет форму седла, обладает двумя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии. Точка, с которой совмещено начало координат называется вершинойгиперболического параболоида. Числа называются его параметрами.

Конус

Определение. Поверхность, которая определяется уравнением:

(12.8)

состоит из прямых, проходящих через одну точку, именно, через начало координат и называется конусом.

Заметим, что (12.8) однородно, все его члены имеют одну и ту же степень 2. Точка .

Теорема:Если некоторая точка лежит на поверхности (12.8), то все точки прямой, которые проходят через начало координат и точку М, также лежат на этой поверхности.

Прямые, из которых составлен конус, называются его образующими - вершина. Проведем сечение .

- эллипс с полуосями .

Если , то в сечении окружность и называется круглым конусом. Рассмотрим уравнение: (12.9)

Это уравнение определяет единственную действительную точку . Однако, ввиду аналогии с уравнением (12.8) его часто называют мнимого конуса.

 

№/п Рисунок Название поверхности Уравнение поверхности
    Эллипсоид
Мнимый эллипсоид

 

Однополостный гиперболоид
Двухполостный гиперболоид

 

Эллиптический параболоид
Гиперболический параболоид

 

Конус
Мнимый конус  

 

Обобщённая таблица по теме: «Плоскость. Прямая в пространстве»

№/п Условия Уравнение
Векторное уравнение плоскости
Векторное уравнение плоскости в координатной форме  
Общее уравнение плоскости
Угол между двумя плоскостями, заданными нормальными векторами прямых
Угол между двумя плоскостями, заданными общими уравнениями и
Условие параллельности двух плоскостей, заданными общими уравнениями  
Условие перпендикулярности двух плоскостей, заданными общими уравнениями
Векторно – параметрическое уравнение прямой в пространстве
Параметрическое уравнение прямой в пространстве ; - координаты направляющего вектора, t – параметр.
Уравнение плоскости в отрезках
Уравнение плоскости, проходящее через три заданные точки
Расстояние от точки до плоскости .  
Каноническое уравнение прямойв пространстве,проходящей через точку параллельно вектору    
Направляющие косинусы прямой в пространстве, где направляющий вектор прямой
Условие параллельности двух прямых в пространстве, заданными каноническими уравнениями и    
Условие перпендикулярности двух прямых в пространстве, заданными каноническими уравнениями и
Угол между двумя прямыми в пространстве    
Угол между прямой и плоскостью определяется - направляющий вектор, - нормаль к плоскости.  
Условие параллельности прямой и плоскости в пространстве
Условие перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве
Условия, при которых прямая принадлежит плоскости
Уравнение пучка плоскостей, проходящих через данную прямую  






©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.