 |
|
Гиперболический параболоид
Определение.Поверхность, которая в декартовой системе координат определяется уравнением: 
(12.7)
Называется гиперболическим параболоидом.
Исследуем уравнение (12.7).
Рассмотрим сечение плоскостью 
, т.е. 
.
- парабола симметрична относительно оси 
с вершнами в начале координат. Теперь рассмотрим сечения (12.7) плоскости, параллельной 
.
- парабола, ветви которой направлены вниз и симметрично относительно . Все эти параболы будут находится, вершинами на восходящей параболе 
, и как бы перемещаться вершиной по линии предыдущей параболы. Сечение гиперболического параболоида плоскостями, параллельными 
.
- гипербола, симметричная относительно плоскостей 
.
Вывод: Гиперболический параболоид имеет форму седла, обладает двумя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии. Точка, с которой совмещено начало координат называется вершинойгиперболического параболоида. Числа 
называются его параметрами.
Конус
Определение. Поверхность, которая определяется уравнением:
(12.8)
состоит из прямых, проходящих через одну точку, именно, через начало координат и называется конусом.
Заметим, что (12.8) однородно, все его члены имеют одну и ту же степень 2. Точка 
.
Теорема:Если некоторая точка 
лежит на поверхности (12.8), то все точки прямой, которые проходят через начало координат и точку М, также лежат на этой поверхности.
Прямые, из которых составлен конус, называются его образующими 
- вершина. Проведем сечение 
.
- эллипс с полуосями 
.
Если 
, то в сечении окружность и называется круглым конусом. Рассмотрим уравнение: 
(12.9)
Это уравнение определяет единственную действительную точку 
. Однако, ввиду аналогии с уравнением (12.8) его часто называют мнимого конуса.
| №/п | Рисунок | Название поверхности | Уравнение поверхности |
| Эллипсоид | 
| |
| Мнимый эллипсоид | 
|
| Однополостный гиперболоид | 
| |
| Двухполостный гиперболоид | 
|
| Эллиптический параболоид | 
| |
| Гиперболический параболоид | 
|
| Конус |
| |
| Мнимый конус |
|
Обобщённая таблица по теме: «Плоскость. Прямая в пространстве»
| №/п | Условия | Уравнение |
| Векторное уравнение плоскости | 
| |
| Векторное уравнение плоскости в координатной форме |
| |
| Общее уравнение плоскости | 
| |
Угол между двумя плоскостями, заданными нормальными векторами  прямых 
| 
| |
Угол между двумя плоскостями, заданными общими уравнениями  и 
| 
| |
| Условие параллельности двух плоскостей, заданными общими уравнениями
|
| |
| Условие перпендикулярности двух плоскостей, заданными общими уравнениями
| 
| |
| Векторно – параметрическое уравнение прямой в пространстве | 
| |
Параметрическое уравнение
прямой в пространстве
 ;  - координаты направляющего вектора, t – параметр.
| 
| |
| Уравнение плоскости в отрезках | 
| |
Уравнение плоскости, проходящее через три заданные точки
| 
| |
Расстояние от точки  до плоскости .
|
| |
| Каноническое уравнение прямойв пространстве,проходящей через точку параллельно вектору
|
| |
Направляющие косинусы прямой в пространстве, где направляющий вектор прямой 
| 
| |
Условие параллельности двух прямых в пространстве,
заданными каноническими уравнениями
 и 
|
| |
| Условие перпендикулярности двух прямых в пространстве,
заданными каноническими уравнениями
и
| 
| |
Угол между двумя прямыми в пространстве 
|
| |
Угол между прямой и плоскостью определяется
- направляющий вектор,  - нормаль к плоскости.
|
| |
Условие параллельности прямой  и плоскости в пространстве
| 
| |
| Условие перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве
| 
| |
| Условия, при которых прямая принадлежит плоскости
| 
| |
Уравнение пучка плоскостей, проходящих через данную прямую 
|
|