 |
|
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ КОШИ
КУРСОВАЯ РАБОТА
по дисциплине «Численные методы»
Студент Шевчук Р.В.
Группа А-22д
№ уравнения 15 № метода 3
Руководитель ст. пр. Захаров В.В.
Дата защитыОценка
Подписи членов комиссии
Севастополь
СОДЕРЖАНИЕ
Введение......................................................................................................... 3
1 Постановка задачи ................................................................................................. 5
1.1 Приведение уравнения ОДУ к нормальной форме Коши....... 5
1.2 Вывод формул метода Рунге – Кутты 2-го порядка................. 6
1.3 Методы Рунге-Кутты 4-го порядка ........................................... 9
2 Описание программных модулей...................................................... 10
2.1 Основная программа main......................................................... 10
2.2 Функция touch............................................................................. 11
2.3 Функция right.............................................................................. 11
2.4 Функция RK2.............................................................................. 11
2.4 Функция RK4.............................................................................. 12
3 Экспериментальное исследование методов Рунге-Кутты................. 13
3.1 Анализ влияния величины шага на точность интегрирования методами Рунге–Кутты второго и четвертого порядков................ 14
3.2 Проверка гипотезы Рунге........................................................... 15
3.3 Исследование поведения ошибки интегрирования как функции независимой переменной для обоих методов Рунге– Кутты при различных значениях шага.............................................................. 16
3.4 Сравнительный анализ методов Рунге – Кутты при различных требованиях к точности вычислений............................................... 19
Заключение.......................................................................................... 21
Перечень ссылок................................................................................. 23
Приложение А..................................................................................... 24
Приложение Б..................................................................................... 27
Приложение В..................................................................................... 32
ВВЕДЕНИЕ
Данная курсовая работа посвящена составлению и отладке программ для ЭВМ интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений и проведению с помощью этих программ экспериментальных исследований свойств методов Рунге-Кутты, наиболее часто встречающихся в практике моделирования и проектирования систем управления.
Цели и задачи работы:
a) Закрепить и углубить теоретические знания о проблематике интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений и, в частности, численного решения задачи Коши, методах Рунге-Кутты, их основных свойствах (устойчивости, точности, эффективности) и основных характеристиках этих свойств (порядке метода, локальной и глобальной алгоритмических ошибках, ошибке вычислений).
б) Приобрести навыки составления и отладки подпрограмм интегрирования на основе методов Рунге-Кутты и программ интегрирования систем дифференциальных уравнений с использованием подпрограмм.
в) Провести экспериментальные исследования на ЭВМ зависимости точности, эффективности и устойчивости алгоритмов интегрирования от величины шага интегрирования и порядка метода Рунге-Кутты.
В различных сферах технических и даже экономических отраслей приходится достаточно часто сталкиваться с математическими задачами, для которых не представляется возможным описать точное решение классическими методами или это решение выражено крайне неудобно читаемыми соотношениями. Разрабатываемые вычислительной математикой численные методы носят в основном ориентировочный характер, однако они позволяют получить итоговый числовой результат со сносной для практических нужд точностью. Численные методы представляют собой алгоритмы вычисления приближенных значений искомого решения на определенной сетке значений аргумента.
Численные методы не позволяют найти общее решение: полученное решение является частным. Но одним из многочисленных плюсов данных методов можно назвать высокую степень применимости к обширным классам уравнений и всем типам вопросов и заданий к ним. Поэтому с появлением электронных вычислительных машин численные методы стали одними из основных технологий решения определенных практических задач решения ОДУ.
Большую значимость имеет вопрос о верности вычислений на ЭВМ, поскольку при практической реализации имеет место обширный объем обрабатываемой, подсчитываемой информации и погрешности могут достаточно сильно исковеркать конечный результат, принимаемый нами за действительный. Кроме сказанного, оценка точности численного метода немаловажна и потому, что увеличить точность в некоторых пределах можно за счет увеличения объемов вычислений, а уменьшить временные затраты при решении задачи - за счет снижения точности получаемого результата.
Для понижения погрешности методов интегрирования ОДУ, использующего разложения искомого решения в ряд Тейлора, необходимо принимать во внимание большое количество членов ряда. При всем при этом появляется потребность аппроксимации производных правых частей ОДУ. Ключевая идея методов Рунге-Кутты заключается в том, что производные аппроксимируются через значения функции f(x,y) в точках на интервале (x0, x0+h), которые выбираются из условия наибольшей близости алгоритма к ряду Тейлора. В зависимости от старшей степени h, с коей учитываются члены ряда, построены всевозможные вычислительные схемы Рунге-Кутты разных порядков точности.
Схемы Рунге - Кутты имеют ряд важных достоинств:
1. Все они имеют высокую точность.
2. Они являются явными (одноступенчатыми): чтобы найти х(tk+1), нужна информация только о предыдущей точке х(tk) .
3. Они согласуются с рядом Тейлора вплоть до членов порядка hp, где степень p различна для различных методов и называется порядком метода.
4. Они не требуют вычисления производных от F(х, t), а требуют только вычисления самой функции.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ КОШИ