Bывод формулы метода Рунге-Кутты второго порядка
Методы Рунге-Кутты являются одношаговыми методами решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений, представленными в нормальной форме Коши. При этом точное решение дифференциального уравнения описывается формулой:
В методах Рунге – Кутты интеграл заменяется линейной комбинацией значений подинтегральной функции, вычисленных при разных значениях аргумента
где m – порядок метода. благодаря чему все методы Рунге – Кутты можно представить в следующем общем виде: Из вышеуказанных общих формул получают формулы метода Рунге-Кутты 2-ого порядка (m=2):
Для определения метода необходимо определить значения коэффициентов:
Остаточный член
где сал – коэффициент пропорциональности, слабо зависящий от h. Окончательно получим выражения производных в нуле:
Дифференцирование можно продолжать, однако очевидно что коэффициенты будут выражаться через форму Коши (1.6) в tk-1, и ее производной по х(t), и по t. Подставляя, полученные выше результаты в (1.8), получаем разностную схему численного интегрирования ОДУ:
Осталось определить значения коэффициентов где Коэффициенты a, b, g должны удовлетворять условию:
где Для нахождения коэффициентов необходимо определить Из условия (1.13) получаем:
Находим 2-ю производную Из условия (1.13) получим второе и третье уравнения:
Объединив (1.14) и (1.15) получим СЛАУ Полученная СЛАУ имеет бесконечное число решений. Нужное решение выбираем исходя из метода, указанного в варианте задания. В данной курсовой работе используется следующее решение:
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|