Параметрическое уравнение линии.Стр 1 из 5Следующая ⇒
Уравнение линии на плоскости. Пусть на плоскости p задана декартова прямоугольная система координат Оху и некоторая линия L. Определение. Уравнение F(x;y)=0 (1)называется уравнением линии L (относительно заданной системы координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты х и у ни одной точки, не лежащей на линии L. Т.о. линией на плоскости называется геометрическое место точек {M(x;y)}, координаты которых удовлетворяют уравнению (1). Уравнение (1) определяет линию L. Пример. Уравнение окружности. Окружность– множество точек, равноудаленных от заданной точки М0(х0,у0). Точка М0(х0,у0) – центр окружности. Для любой точки М(х;у), лежащей на окружности, расстояние ММ0=R (R=const) ММ0= =R (х-х0)2+(у-у0)2=R2–(2)–уравнение окружности радиуса R с центром в точке М0(х0,у0). Параметрическое уравнение линии. Пусть координаты х и у точек линии L выражаются при помощи параметра t: (3) – параметрическое уравнение линии в ДСК где функции j(t) и y(t) непрерывны по параметру t (в некоторой области изменения этого параметра). Исключая из уравнения (3) параметр t, получим уравнение (1). Рассмотрим линию L как путь, пройденный материальной точкой, непрерывно движущейся по определенному закону. Пусть переменная t представляет собой время, отсчитываемое от некоторого начального момента. Тогда задание закона движения представляет собой задание координат х и у движущейся точки как некоторых непрерывных функций х=j(t) и у=y(t) времени t. Пример. Выведем параметрическое уравнение окружности радиуса r>0 с центром в начале координат. Пусть М(х,у) – произвольная точка этой окружности, а t – угол между радиус-вектором и осью Ох, отсчитываемый против часовой стрелки. Тогда x=r cos x y=r sin t. (4) Уравнения (4) представляют собой параметрические уравнения рассматриваемой окружности. Параметр t может принимать любые значения, но для того, чтобы точка М(х,у) один раз обошла окружность, область изменения параметра ограничивается полусегментом 0£t£2p. Возведя в квадрат и сложив уравнения (4), получим общее уравнение окружности (2). ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|