Прямая на плоскости.
Теорема.Любая прямая на плоскости представляет собой алгебраическую кривую 1-го порядка и любая алгебраическая кривая 1-го порядка на плоскости есть прямая. Доказательство. Рассмотрим произвольную прямую L на плоскости. Пусть точка М0(х0;у0) лежит на L, а ненулевой вектор n={А;В} перпендикулярен этой прямой. Пусть точка М(х,у) – произвольная точка. Точка М(х,у) LÛкогда вектор =(х-х0)i+(y-y0)j вектору n=Ai+Bj Т.е. n=0 Þ (х-х0)А+(y-y0)В=0 или Преобразуем уравнение (1): Ах+Ву-Ах0-Ву0=0 Обозначим -Ах0-Ву0=С. Получим следующее уравнение: Ах+Ву+С=0 (1) – общее уравнение прямой. (т.к.n¹0, то либо А¹0, либо В¹0, т.е. А2+В2≠0). Т.о. первой утверждение доказано. Для доказательства второго утверждения, рассмотрим произвольное уравнение 1-го порядка с двумя неизвестными Ах+Ву+С=0 (А2+В2≠0). Это уравнение имеет хотя бы одно решение. Например, если А¹0, то решением уравнения является х=- , у=0. Это означает, что существует хотя бы одна точка М0(х0;у0), координаты которой удовлетворяют уравнению (1), т.е. Ах0+Ву0+С=0 (2). Вычитая из уравнения (1) равенство (2), получим А(х-х0)+В(y-y0)=0 (3). Покажем, что уравнение (3), эквивалентное уравнению (1), определяет относительно системы Оху прямую L, проходящую через точку М0(х0;у0) и перпендикулярную вектору n={А;В} (т.к. А2+В2≠0, то вектор n – ненулевой). Если точка М(х,у) лежит на прямой L, то ее координаты удовлетворяют уравнению (3), т.к. в этом случае векторы n={А;В} и ={х-х0;y-y0} ортогональны и их скалярное произведение n=0 Þ (х-х0)А+(y-y0)В=0. Если же М(х,у) не лежит на прямой L, то ее координаты не удовлетворяют уравнению (3), т.к. в этом случае векторы n={А;В} и ={х-х0;y-y0} не ортогональны и их скалярное произведение (х-х0)А+(y-y0)В не равно нулю. Ч.т.д. Уравнение Ах+Ву+С=0 (1) – общее уравнение прямой n={А;В} – нормальный вектор прямой L. Замечание. Если два общих уравнения Ах+Ву+С=0 и А1х+В1у+С1=0 определяют одну и ту же прямую, то найдется такое число t, что A1=At, B1=Bt, C1=Ct (4) Действительно, т.к. прямые Ах+Ву+С=0 и А1х+В1у+С1=0 совпадают, то векторы n={А;В} и n1={А1;В1} коллинеарны, следовательно, по условию коллинеарности векторов, найдется такое число t, что n1=ntÞиз линейного свойства координат вектора следуют первые два равенства (4). Т.к. прямые совпадают, то они имеют общую точку М0(х0;у0). Т.е. Ах0+Ву0+С=0 и А1х0+В1у0+С1=0. Вычитая из 2-го равенства 1-е, умноженное на t, получаем (At-А1)х0+(Bt-В1)у0+(Ct-С1)=0Þ Ct-С1=0Þ Ct=С1. Т.о. общее уравнение прямой, как и нормальный вектор прямой, определяется с точностью до ненулевого числового множителя. ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|