 |
|
АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ЧИСЛЕННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ САМООРГАНИЗАЦИИ РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМ.
3.1. ЯЧЕЙКИ БЕНАРА.
Для того, чтобы экспериментально изучить структуры, достаточно иметь сковороду, немного масла и какой ни будь мелкий порошок, чтобы было заметно движение жидкости. Нальем в сковороду масло с размешанным в нем порошком и будем подогревать ее снизу (рис. 3.1)
Рис. 3.1. Конвективные ячейки Бенара.
Если дно сковороды плоское и нагреваем мы ее равномерно, то можно считать, что у дна и на поверхности поддерживаются постоянные температуры, снизу - Т1, сверху - Т2 Пока разность температуры DТ = Т1-Т2 невелика, частички порошка неподвижны, а следовательно, неподвижна и жидкость .
Будем плавно увеличивать температуру Т1. С ростом разности температур до значения DТc наблюдается все та же картина, но когда DТ > DТc , вся среда разбивается на правильные шестигранные ячейки (см. Рис. 3.1) в центре каждой из которых жидкость движется вверх, по кроям вниз. Если взять другую сковороду, то можно убедиться, что величина возникающих ячеек практически не зависит от ее формы и размеров. Этот замечательный опыт впервые был проделан Бенаром в начале нашего века, а сами ячейки получили название ячеек Бенара.
Элементарное качественное объяснения причины движения жидкости заключается в следующем. Из-за теплового расширения жидкость расслаивается, и в более нижнем слое плотность жидкости r1 меньше, чем в верхнем r2. Возникает инверсный градиент плотности, направленный противоположно силе тяжести. Если выделить элементарный объем V, который немного смещается вверх в следствии возмущения, то в соседнем слое архимедова сила станет больше силы тяжести, так как r2 > r1 . В верхней части малый объем, смещаясь вниз, попадает в область пониженной плотности, и архимедова сила будет меньше силы тяжести FA < FT, возникает нисходящее движение жидкости. Направление движения нисходящего и восходящего потоков в данной ячейке случайно, движение же потоков в соседних ячейках, после выбора направлений в данной ячейке детерминировано. Полный поток энтропии через границы системы отрицателен, то есть система отдает энтропию, причем в стационарном состоянии отдает столько, сколько энтропии производится внутри системы (за счет потерь на трение).
dSe q q T1 - T2
¾ = ¾ - ¾ = q * ¾¾¾ < 0 (3.1)
dt T2 T1 T1 * T2
Образование именно сотовой ячеистой структуры объясняется минимальными затратами энергии в системе на создание именно такой формы пространственной структуры. При этом в центральной части ячейки жидкость движется вверх, а на ее периферии - вниз.
Дальнейшее сверхкритическое нагревание жидкости приводит к разрушению пространственной структуры - возникает хаотический турбулентный режим.
Рис. 3.2. Иллюстрация возникновения тепловой конвекции в жидкости.
К этому вопросу прикладывается наглядная иллюстрация возникновения тепловой конвекции в жидкости.
3.2 ЛАЗЕР, КАК САМООРГАНИЗУЮЩАЯСЯ СИСТЕМА.
Во второй главе этот вопрос мы уже рассматривали. Здесь же, рассмотрим простую модель лазера. Лазер - это устройство, в котором в процессе стимулированного излучения порождаются фотоны.
Изменение со временем числа фотонов n, или другими словами, скорость порождения фотонов, определяется уравнением вида:
dn / dt = «Прирост» - «Потери» (3.2)
Прирост обусловлен так называемым стимулированном излучением. Он пропорционален числу уже имеющихся фотонов и числу возбужденных атомов N . Таким образом:
Прирост = G N n (3.3)
Здесь G - коэффициент усиления, который может быть получен из микроскопической теории. Член, описывающий потери, обусловлен уходом фотонов через торцы лазера. Единственное допущение, которое мы принимаем , - это то, что скорость ухода пропорциональна числу имеющихся фотонов . Следовательно,
Потери = 2cn (3.4)
2c = 1/ t0 , где t0 - время жизни фотона в лазере.
Теперь следует учесть одно важное обстоятельство, которое делает (2.1) нелинейным уравнением вида: 
(3.5)
Число возбужденных атомов уменьшается за счет испускания фотонов . Это уменьшение DN пропорционально числу имеющихся в лазере фотонов , поскольку эти фотоны постоянно заставляют атомы возвращаться в основное состояние.
DN = an (3.6)
Таким образом, число возбужденных атомов равно
N = N0 - DN (3.7)
где N0 - число возбужденных атомов , поддерживаемое внешней
накачкой , в отсутствии лазерной генерации.
Подставляя (3.3) - (3.7) в (3.2) , получаем основное уравнение нашей упрощенной лазерной модели :
(3.8)
где постоянная k дает выражение :
k1 = aG
k = 2c - GN0 >< 0 (3.9)
Если число возбужденных атомов N0 (создаваемых накачкой) невелико , то k положительно , в то время как при достаточно больших N0 k - может стать отрицательным . Изменение знака происходит когда
GN0 = 2c (3.10)
Это условие есть условие порога лазерной генерации .
Из теории бифуркации следует , что при k > 0 лазерной генерации нет , в то время как при k < 0 лазер испускает фотоны.
Ниже или выше порога лазер работает в совершено разных режимах .
Решим уравнение (3.8) и проанализируем его аналитически: это уравнение одномодового лазера .
Запишем уравнение (3.8) в следующем виде: 
Разделим исходное уравнение на n2 .
и введем новую функцию Z :
1/n = n-1 = Z Þ Z1 = - n-2 следовательно уравнение примет вид :
перепишем его в следующем виде: 
разделим обе части данного уравнения на -1 , получим: 
(3.11)
Уравнение (3.11) - это уравнение Бернулли, поэтому сделаем следующую замену Z = U×V, где U и V неизвестные пока функции n, тогда Z1 = U1 V + U V1 .
Уравнение (3.11) , после замены переменных, принимает вид
U1 V + UV1 - k UV = k1
преобразуем, получим
U1 V + U(V1 - k V) = k1 (3.12)
Решим уравнение (3.12)
V1 - k V = 0 ® dV/dt = k V
сделаем разделение переменных dV/V =k dt ® ln V = k t
результат V = ekt (3.13)
Отсюда мы можем уравнение (3.12) переписать в виде :
U1 ekt = k1
- это то же самое , что dU/dt = k1e-kt , dU = k1e -kt dt выразим отсюда U , получим
(3.14)
По уравнению Бернулли мы делали замену Z = U V подставляя уравнения (3.13) и (3.14) в эту замену , получим
Ранее вводили функцию Z = n-1 , следовательно
(3.15)
Начальное условие n0=1/(c-k1/k), из этого условия мы можем определить константу с следующим образом
Подставляя, найденную нами константу в уравнение (3.15) , получим
(3.16)
Исследуем функцию (3.16) при k = 0 , k < 0 , k > 0 .
При k®0 ; ekt ® 0 ; (ekt - 1)®0, то есть (ekt - 1)×k1/k®0×¥ (неопределенность) , раскроем эту неопределенность по правилу Лопиталя. Эту неопределенность вида 0×¥ следует привести к виду 
. При этом, как и всегда при применении правила Лопиталя , по ходу вычислений рекомендуется упрощать получившиеся выражения , следующим образом :
n(k)при k®0 ® 0 , следовательно 
Перепишем (3.16) в следующем виде
Линеаризуем нелинейное уравнение, получим
ln n = - kt + c Þ 
Построим график для этих условий
Рис. 3.3 К самоорганизации в одномодовом лазере:
кривая 1 : k < 0 , режим лазерной генерации
кривая 2 : k = 0 , точка бифуркации , порог
кривая 3 : k > 0 , режим лампы.
При k = 0 уравнение (3.8) примет вид
решая его, получим
(3.8)
При условии 
; n(t) = const, функция (3.8) приближается к стационарному состоянию, не зависимо от начального значения n0 , но в зависимости от знаков k и k1 (смотри рисунок 3.3).
Таким образом, функция (3.8) принимает стационарное решение 