Представление о моментах случайных величин и их свойствах
Моменты - универсальные характеристики распределения случайной величины, наиболее часто используемые в математической статистике. В терминах моментов можно описать основные характеристики рассеяния, см. выше § 3.2 и знакомство с ними необходимо для свободной ориентации в положениях классической теории, а также в отечественных и зарубежных статистических данных. Моментом распределения (Мк) называется средняя арифметическая из отклонений значений признака хiот некоторой постоянной величины aв степени к.Порядок момента определяется величиной к. Эмпирический момент к-гопорядка определяется по формуле:
В зависимости от постоянной величиныа различают начальные, центральные и условные моменты. В частности, еслиаравносреднему значениюпризнака хi,то момент называется центральным. Начальный момент первого порядкаслучайной величины X называют также математическим ожиданием (МО), или средним значением (его обозначают через МX или ЕX) . Для дискретной случайной величины Xсо значениями x1, х2,..., имеющими вероятности р1, р2…. Для непрерывной случайной величины Xс распределением вероятностей fX(х). Свойства математического ожидания: 1. МО постоянной равно этой постоянной. 2. МО суммы случайных величин равно сумме их МО, т.е. . 3. МО произведения случайной величины на константу равно произведению этой константы на МО случайной величины (иначе, постоянный множитель можно выносить за знак МО): . Второй центральный момент(или центральный моментвторого порядка)DXназывается обычно дисперсией D, см. §3.2, и используется для количественной оценки разброса случайной величины. или (3.10) Свойства второго центрального момента илидисперсии: 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю. 2. Для любой постоянной а: , . Асимметрия(в программе EXCEL - "СКОС") и эксцесс - также центральные моменты, но соответственно 3-его и 4-ого порядка. Ещё одно их характерное отличие от ранее рассмотренных моментов - они не зависят от размерности случайной величины. Для этого их нормируют, деля на соответствующую степень стандартного отклонения: (3.11) (3.12) Асимметрия (А) характеризует степень несимметричности распределения относительно среднего значения. Расчётная формула для выборки: (3.13) где n – объем выборки; xi– i - ое значение выборки; и S– среднее значение и стандартное отклонение выборки. Положительная (правосторонняя) асимметрия указывает на отклонение распределения в сторону положительных значений (вправо по числовой оси). Отрицательная (левосторонняя) асимметрия указывает на отклонение распределения в сторону отрицательных значений (рис. ).
а б Рис. . Правосторонняя (а) и левосторонняя асимметрии (6) Эксцесс(обозначается Е или ε) характеризует степень выраженности «хвостов» распределения, т.е. частоту появления значений, удаленных от математического ожидания. Для нормального распределения эксцесс, определяемый по формуле (3.12), равен 3, а при расчёте по формуле для выборки (3.14) за счёт дополнительно введённого второго члена - нулю. (Таким же образом он рассчитывается в программе EXCEL, см. § 2.2). В результате относительно более «остроконечное», чем нормальное распределение имеет положительный эксцесс, а относительно более «сглаженное» - отрицательный эксцесс (рис 3.4). (3.14)
Рис. 3.4. Схематическое изображение распределения с положительным и отрицательным эксцессом
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|