Интегральный признак
Доказательство. Пусть выполняется условие f(n)=an для функции f(x). Построим график этой функции для x³1 и рассмотрим площадь вписанной ступенчатой фигуры для 1£x£n. Sвпис.ступ.фиг. = a1+a2+…+an Если частичная сумма ряда равна Sn, то Sвпис.ступ.фиг. = Sn – a1. Площадь криволинейной трапеции под кривой f(x) для 1£x£n . Очевидно, . Тогда . Пусть несобственный интеграл сходится к числу А. Тогда Sn<A+a1, т.е. последовательность частичных сумм ограничена. С другой стороны эта последовательность монотонно возрастает, т.к. в силу положительности членов ряда (аn>0) Sn < Sn+1 = Sn + an+1. Из ограниченности и монотонности частичных сумм Sn следует, что существует (см. признаки существования пределов). Ряд сходится. Пусть несобственный интеграл , т.е. интеграл расходится. Сравним площади описанной ступенчатой фигуры для 1£x£n и рассмотренной выше криволинейной трапеции Sоп.ст.фиг.=a1+a2+…+ an-1=Sn-an. Очевидно, Sn-an³ ,или Sn≥ .Перейдем к пределу при n→¥: ,, следовательно (по определению), ряд расходится. В качестве примера рассмотрим обобщенный гармонический ряд , где α – любое действительное число. Решение. Как известно, функция при x ≥ 1 положительная и невозрастающая. Как было показано выше ( ) несобственный интеграл сходится при α > 1 и расходится при α ≤ 1. Следовательно, и обобщенный гармонический ряд сходится, если α > 1 и расходится, если α≤1. В связи с достаточной простотой ответа о сходимости обобщенного гармонического ряда, его удобно использовать, как было сказано выше (п. 14.2), в качестве эталонного ряда. Следует отметить, что трудности использования интегрального признака могут возникнуть при вычислении несобственных интегралов . Замечание. В соответствии со свойствами интегралов , но . Следовательно, при использовании интегрального признака можно вычислять несобственный интеграл . Примеры. Исследовать сходимость рядов. 1. . Рассмотрим . Введем новую переменную t=2n+1. Если n=1, t=3; если n=¥, t=¥. После замены получаем , который сходится при t ≥ 1, а значит, и при t ≤ 3, т.к. p = 2 > 1. Ряд сходится. 2. . Сравним этот ряд с рядом . для n ≥ 3. Эталонный обобщенный гармонический ряд расходится, т.к. . В таком случае и ряд расходится, т.к. получен путем отбрасывания первых двух членов из эталонного ряда. В таком случае на основании признака сравнения расходится ряд , а значит, и данный ряд расходится (теорема 14.1.3). ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|