Главная | Обратная связь

Материальная точка. Система отсчета. Траектория, путь, перемещение. Скорость. Формулы пути и скорости.

Простейшей, предельно абстрактной идеализацией движущегося тела в механике явля­ется материальная точка - тело, размерами и формой которого в условиях соответствующей конкретной задачи можно пренебречь.

Относительный характер механического движения предполагает и требует введения систем отсчёта при его описании. Под системой отсчёта понимают систему координат (обычно декартову), начало которой связывается с некоторым телом отсчёта. Предполагается также наличие в системе отсчета линеек и часов, то есть инструментов для отсчета пространственных и временных интервалов (длин и длительностей). Исходная кинематическая определённость точечного тела - его поло­жение - задаётся с помощью радиус-вектора r, проводимого из начала системы координат в движущееся тело (точку), или скалярно с помощью координат точки х, у, z. Векторный(Символы векторных величин обозначаются в данном тексте жирным шрифтом.) и скалярный способы задания положения тела взаимосвязаны:

r = iх + kу + jz, гдех, у, z - проекции точки (конца радиус - вектора r) на соответствующие оси координат, а i, k, j –орты (единичные векторы) осей Х, Y, Z.При движении тела конец его радиус - вектора описывает линию, называемую траек­торией (линия, вдоль которой движется тело). Уравнение траектории движения точки пред­ставляет взаимосвязь ее координат и для плос­кого (двумерного) движения обычно выражается зависимостью у = ¦ (х). Изменение местоположения тела за время Dt задаётся или вектором перемещения Dr, проводимым из начального в конечное местоположение тела, или скаляром – путем S, - расстоянием, отсчитываемым вдоль траектории тела в направлении его перемещения.

Dr = r – r_о, т. е. вектор перемещения Dr, представляет собой приращение радиус - вектора r тела (разность между ко­нечным и начальным значениями r).

Обычно модуль перемещения ïDrï меньше пройденного точкой пути S. Однако при Dt ® 0, Dr ®dr и модуль |dr| элементарного (физически бесконечно малого) перемещения dr стремится к длине дуги, то есть к пути dS (длина дуги dS траекто­рии сравнивается с длиной dr секущей).

Быстрота движения, т. е. быстрота изменения местоположения тела, быстрота прохождения им пути или совершения перемещения характеризуется, величиной, называемой скоростью. Различают среднюю и мгновенную скорости, которые, в свою очередь, подразделяют на скалярные (выражаемые через путь) и векторные скорости, выражаемые через перемещение.

Под средней путевой скоростью <u> понимают величину, из­меряемую отношением всего пройденного телом пути S ко времени t его прохождения:

<u> = S/t, [u] = м/с.

Под мгновенной скоростью u понимают предел средней скоро­сти при стягивании интервала времени( Интервал времени Dt, то есть разность между конечным t2 (или просто текущим t) и начальным t1 (или t0) моментами, то есть Dt = t2 – t1 = t – tо может быть приравнен к текущему моменту времени t (Dt = t), если начальный момент tо выбран равным нулю. ) Dt в момент, в мгновение (при t = Dt ® 0), то есть u = lim DS/Dt = dS/dt = S^¢ .

С формальной стороны мгновенная путевая скорость u = dS/dt представляет собой производную от пути по времени. В физике ее допускается трактовать как отношение элементарных (физически бесконечно малых) приращений пути dS и времени dt.

Мгновенная векторная скорость u понимается как предел отношения совершённого
телом перемещения Dr ко времени Dt его совершения, при условии, что Dt ® 0:

u = lim Dr/Dt = dr/dt = r^¢ - производная от радиус – вектора по времени, которая может быть определена и как отношение элементарных (физически бесконечно малых) перемещения dr и времени dt.

Так же, как и радиус – вектор r, мгновенная векторная скорость u может быть записана
через проекции на оси координат:

u = dr/dt = d/dt(iх + jу + kz) = i×dх/dt + j×dу/dt + k×dz/dt = iu_х+ ju_у +ku_z

Численное значение (модуль) скорости равно:

u = Ö(u_х² + u_у² + u_z²). Направление же вектора мгновенной скорости совпадает с направлением вектора элемен­тарного перемещения dr, направленного по вектору касательной t траектории в сторону перемещения тела:

u = dr/dt Þ u ­­ dr; dr =limDrпри Dt ® 0.

u = ut, где t - единичный вектор (ïtï = 1) касательной к траектории (орт), направленный по направлению движения тела.

Мгно­венная путевая скорость u = dS/dt, равна численному значению (модулю) мгновенной вектор – скорости ïuï = ïdr/dtï, так как при Dt ® 0 (при Dt = dt) длина дуги dS траекто­рии стремится к длине dr секущей.

2. Кинематика материальной точки. Путь, скорость, ускорение. Тангенциальное, нормальное, полное ускорение.

В механике Ньютона считается, что свободное тело (на которое не дейст­вуют другие тела или действие их взаимно скомпенсировано) сохраняет сос­тояние своего движения, т. е. движется с неизменной скоростью (в частном случае покоится). Наличие же взаимодействия со стороны других тел проявляет себя, как установлено в динамике Галилея - Ньютона, в изменении скорости данного тела. Быстроту ее изменения характеризуют векторной величиной, называемой ускорением а, численно равным производной от мгновенной вектор - скорости u по времени:

а = lim Du/Dt при Dt ® 0; а = du/dt = u^¢ [а] = м/с².

Т. к. вектор-скорость u = ut обладает как бы двумя степенями свободы - модулем u
и направлением (задаваемым вектором t), то и быстрота её изменения - вектор уско­рения а - может быть представлен в виде двух составляющих, называемых тангенциальным (касательным) и нормальным (центростремительным) ускорениями:

а = du/dt = d/dt(ut) = t(du/dt) + u×dt/dt = а_t + а_n, гдеа_t = t(du/dt) - тангенциальное ускорение, численно равное быстроте измене­ния модуля скорости и направленное по направлению t, то есть по касательной к траектории в сторону
перемещения тела при (du/dt) > 0 и против t при (du/dt) < 0;

а_n = u×dt/dt - нормальное ускорение, характеризующее быстроту изменения направления скорости.

Покажем, что нормальное ускорение направлено по нормали к траектории в сторону её вогнутости и численно равно u²/R, где R - радиус кривизны тра­ектории в соответствующей точке.

Модуль а полного ускорения в соответствии с теоремой Пифагора, равен:

|а| = а = Ö(а_t² + а_n²) = Ö[(du/dt)² + u⁴/R²].

Знание ускорения, с которым движется тело, необходимо для решения ос­новной задачи механики, т. е. для определения скорости и местоположения тела в любой момент времени. Для этого необходимо иметь уравнения, связывающие скорость и ускорение, а также радиус - вектор с ускорением тела.