Главная | Обратная связь

Связь между силой и потенциальной энергией.

Работа консервативных сил не зависит от формы траектории. Следовательно, потенциальная энергия, изменение которой, взятое с обратным знаком, равно этой работе, может служить характеристикой силового поля. Про тела, которые могут совершить работу, говорят, что они обладают энергией.

Потенциальная энергия - физическая величина, показывающая, какую работу могут совершить внутренние консервативные силы над телом.

Установим связь между потенциальной энергией и силами, формирующими это потенциальное поле. Рассмотрим сначала одномерное движение частицы под действием некоторой внутренней консервативной силы F_x. Исходя из определений элементарной работы и потенциальной энергии, имеем: dA = F_xdx = -dE_п. (7.16)

Следовательно, F_x = -dE_п/dx, т.е. проекция силы есть производная от потенциальной энергии по координате.В случае трехмерного движения каждая составляющая проекции вектора силы зависит от скорости изменения потенциальной энергии в пространстве аналогичным образом. Тогда в соответствии с принципом суперпозиции вектор силы равен градиенту E_п:

Вектор называется градиентом функции f(x, y, z).

f(x, y, z) - некая произвольная функция, зависящая от переменных x, y и z;

Вектор градиента направлен в сторону наиболее быстрого изменения функции. Таким образом,

вектор силы равен градиенту потенциальной энергии, взятому с обратным знаком.

F = -grad(E_п)

 

 

10. Работа и энергия упругих сил и сил тяготения. Потенциальная

энергия тела, поднятого над землей.

1) Сила тяжести:

А₁₂ = òFdr = ò-mg×dу = mgh₁ - mgh₂ = Е_п1 - Е_п2 = - DЕ_п

Þ Е_п = mgh + const

2) Сила упругости:

А₁₂ = òFdr = ò-kх×dх = kх₁²/2 - kх₂²/2 = Е_п1 - Е_п2 = -DЕ_п, где Е _п = kх²/2 + const

Из приводимых выше формул видно, что, измеряя работу потенциальных сил, можно найти только разность потенциальных энергий, то есть сама потенциальная энергия определяется неоднозначно, а именно - с точностью до константы.

Работа консервативных сил совершается за счет убыли потенциальной энергии (энергии взаимодействия) и идёт на приращение кинетической энергии тела (энергии движения):

А₁₂ = DЕ_к = - DЕ_п или Е_к2 - Е_к1 = Е_п1 - Е_п2 Þ Е_к1 + Е_п1= Е_к2 + Е_п2

 

11. Консервативные и неконсервативные силы. Закон сохранения энергии в механике

Консервативные силы – силы, работа которых не зависит от формы траектории по которой движется тело и определяется в начальной и конечной точках траектории; работа этих сил по замкнутому контуру = 0 Диссипатиыные силы – силы, работа которых зависит от формы траектории по кторой движется тело. Полная механическая энергия тела, т. е. сумма кинетической и потенциальной энергий, остается при его движении под действием консервативных сил неизменной, т. е. сохраняется. Она может лишь переходить в эквивалентных количествах из одного вида (энергии движения) в другой (энергию взаимо­действия) и наоборот. Это утверждение и представляет собой суть
закона сохранения энергии замкнутой консервативной механической системы (ЗСМЭ)

12. Момент инерции материальной точки. Момент инерции тела. При-

вести примеры. Теорема Штейнера.

Основное уравнение М_z = Je_z динамики вращательного движения твердого тела (системы материальных точек) относительно неподвижной оси по своей структуре идентично второму закону Ньютона F = mа. Аналогом массы m в нем выступает момент инерции J твердого тела. И так же, как масса, он выступает мерой инертности тела, но применительно к вращательному движению. Чем больше момент инерции J твердого тела, тем меньшее угловое ускорение e оно приобретает под действием одного и того же момента М внешних сил, то есть тем медленнее изменяется его угловая скорость. Момент инерции материальной точки J_i = m_ir_i² пропорционален квадрату расстояния r_i
от точки до оси вращения. С ростом массы m и при неизменном расстоянии r до оси вращения, та же сила F сообщает материальной точке меньшее линейное ускорение (по 2-му закону Ньютона), а соответственно и угловое ускорение e = а/r. С удалением точки от оси враще­ния возрастает момент М одной и той же силы F: М = Fr и уменьшается угловое ускорение e = а/r = F/mr, а момент инерции J = М/e = Fr/(F/mr) = mr² возрастает квадратично расстоянию до оси вращения (радиусу окружности). Момент инерции, как и масса тел, оказывается аддитивной характеристикой, то есть результирующий момент инерции твёрдого тела (системы матери­альных точек) равен сумме моментов инерции составляющих его частиц:

J = SJ_к = Sm_кr_к²

В случае непрерывного распределения точек /массы/ сумма в выражении для момента инерции заменяется интегралом: J = òr_к²dm = òrr²dV

Момент инерции тела зависит не только от его массы, но и от её распре­деления относительно оси вращения. Для некоторых симметричных и однород­ных тел момент инерции J_с относительно оси, проходящей через центр симметрии С (центр масс или центр инерции) выражается следующими формулами:

1. Колесо /обод/, полый цилиндр: J_с = mR²

2. Диск, сплошной цилиндр: J_с = mR²/2

3. Шар: J_с = 2mR²/5

4. Стержень: J_с = ml²/12

При параллельном переносе оси вращения на расстояние а от центра инерции момент инерции тела массой m возрастает на mа², т. е. J = J_С + mа². В этом состоит суть теоремы Штейнера. Выведем эту теорему.

Дано твердое тело (система материальных точек).

Проведем две параллельные оси; одну через центр масс С тела и другую через точку О, отстоящую от центра масс на расстояние а. На рисунке оси перпендикулярны плоскости чертежа. Выделим в твердом теле некоторую элементарную массу Dm_i. Проведем в нее из точек С и О векторы R_i и r_i.

Из чертежа видно, что r_i = а +R_i. Возведем это равенство в квадрат: r_i² = а² + 2а×r_i + R_i². Умножим его на Dm_i и просуммируем по всем элементарным массам (точкам) тела: SDm_i×r_i² = а²SDm_i + 2аSDm_i×R_i + SDm_i×R_i².

Первая сумма SDm_i×r_i² в полученном равенстве представляет собой момент инерции J
тела относительно точки О, а последняя сумма SDm_i×R_i² представляет собой момент инерции J_С тела относительно центра масс. Так как SDm_i равна массе m всего тела, то слагаемое
а²SDm_i = mа². И, наконец, вспоминая определение радиус-вектора центра масс:

R_С = (1/m)SDm_i×R_i, видим, что сумма SDm_i×R_i = m×R_С представляет собой произведение массы тела на радиус-вектор R_С центра масс тела. Но так как здесь радиус-вектор R_С задается относительно самого центра масс, то он получается равным нулю. В итоге написанное выше равенство примет вид
J = mа² + J_С, который и представляет собой теорему Штейнера.

 

 

13. Момент силы. Момент импульса. Основной закон динамики вращательного движения.

Различают два основных вида вращательного движения твердого тела:

1) вращение вокруг неподвижной точки О,при которомвсе точки тела движутся по поверхностям концентрических сфер с центром в точке О;

2) вращение вокруг неподвижной оси Z; здесь все точки тела вращаются по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, являющейся осью вращения Z.

Угловые характеристики: путь j, скорость w = dj/dt и ускорение e = dw/dt.

Векторные меры движения и взаимодействия, соответственно импульс Р и сила F заменяются во вращательном движении на момент импульса L и момент силы М, а мера инертности – масса m – на момент инерции J.

В качестве векторной меры вращательного движения некоторой материальной точки m_i относительно неподвижной точки (полюса) О выбирается величина L_i,называемая моментом импульса и определяемая векторным произведением радиус-вектора r_i материальной точки на ее импульс р_i = m_iu_i: L_i = [r_i, р_i]

Вектор L_i направлен согласно правилу правого винта или из конца вектора L_i поворот вектора r_i к вектору р_i виден совершающимся по кратчайшему расстоянию против часовой стрелки

Соответственно в качестве момента импульса L твердого тела (или системы материальных точек) относительно неподвижной точки О выбирается векторная величина, равная геометрической сумме моментов импульсов L_i, составляющих систему (тело) точек: L = SL_i = S[r_i, р_i]

В качестве элементарной меры вращательного взаимодействия выбирается величина М, называемая моментом силы относительно точки и численно равная векторному произведению радиус-вектора r точки приложения силы на вектор силы F, то есть М = [r, F]. Вектор М направлен перпендикулярно плоскости векторов r и F по правилу правого винта. Модуль вектора момента силы равен: М = F×r×sin a = F×l, где a - угол

между векторами r и F, аl =r×sin a-плечо силы F, то есть длина перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия силы F.

Закон изменения момента импульса твердого тела (системы материальных точек) или уравнение моментов имеет вид: dL/dt =М^внеш

– быстрота изменения момента
импульса твердого тела относительно неподвижной точки равна результирующему моменту относительно той же точки всех внешних сил, действующих на тело.

Основное уравнение М_z = Je_z динамики вращательного движения твердого тела (системы материальных точек) относительно неподвижной оси по своей структуре идентично второму закону Ньютона F = mа. Аналогом массы m в нем выступает момент инерции J твердого тела. И так же, как масса, он выступает мерой инертности тела, но применительно к вращательному движению. Чем больше момент инерции J твердого тела, тем меньшее угловое ускорение e оно приобретает под действием одного и того же момента М внешних сил, то есть тем медленнее изменяется его угловая скорость.

 

14. Момент импульса материальной точки. Момент импульса тела. Закон сохранения момента импульса. Примеры.

В качестве векторной меры вращательного движения некоторой материальной точки m_i относительно неподвижной точки (полюса) О выбирается величина L_i,называемая моментом импульса и определяемая векторным произведением радиус-вектора r_i материальной точки на ее импульс р_i = m_iu_i: L_i = [r_i, р_i]

Вектор L_i направлен согласно правилу правого винта или из конца вектора L_i поворот вектора r_i к вектору р_i виден совершающимся по кратчайшему расстоянию против часовой стрелки

Соответственно в качестве момента импульса L твердого тела (или системы материальных точек) относительно неподвижной точки О выбирается векторная величина, равная геометрической сумме моментов импульсов L_i, составляющих систему (тело) точек:

L = SL_i = S[r_i, р_i]