Главная | Обратная связь

Интервал между событиями.

В отличие от механики Ньютона, где пространство и время - как универ­сальные опреде­лённости (отношения) тел и процессов были абсолютны и не­зависимы друг от друга,
в СТО вскрывается их относительный характер, их тесная взаимосвязь и опосредованность друг другом. Это дало основание Г. Минковскому объединить пространство и время в единый 4-х мерный мир (мир Минковского) с четырьмя координатными осями: Х, U, Z, iсt. Каждая точка в таком пространстве-времени изображает некоторое событие, т. е. ²нечто, происходящее там-то и тогда-то". Расстояние между двумя точками-событи­ями в этом мире называется интерва­лом S₁₂ и выражается соотношением:

S₁₂ = Ö[с²(t₂² – t₁²) – (х₂ – х₁)² – (y₂ – у₁)² – (z₂ – z₁)²] = Ö(с²t₁₂² – l₁₂²),
где t₁₂ = t₂ – t₁ и l₁₂ = Ö[(х₂ – х₁)² + (y₂ – у₁)² + (z₂ – z₁)²].

Каждая из компонент интервала - временная t₁₂ и пространственная l₁₂, т. е. длительность и длина, оказываются в СТО сами по себе относительными, изменяющимися в разных ИСО,
но изменяющимися взаимосогласованно, так, чтобы обеспечить неизменность (инвариант­ность), постоянство в разных ИСО всего 4-х мерного интервала. И эта инвариантность новой величины - ком­бинации из прежних инвариантных - длины и длительности, является одним
из важнейших результатов СТО.

Установленная в СТО тесная взаимосвязь пространства и времени наглядно иллюстри­рует диалектико-материалистическое положение о пространстве и времени как атрибутах (неотъемлемых характеристиках) единого материального мира.

 

54. Длина отрезка и длительность событий в различных системах отсчета. Кинематические следствия из преобразований Лоренца.

3. Относительность одновременности собы­тий.

Пусть в ИСО (К) происходят 2 события, зада­ваемые координатами x_1, y_1, z₁, t₁ и x_2, y_2, z₂, t₂, причем t = t_2, т. е. в ИСО (К) эти события происходят одно­временно.

Громадной заслугой Эйнштейна явилось то, что он обратил внимание на то, что в классической механике Галилея - Ньютона совершенно не было определе­но, как фиксиро­вать факт одновременности двух событий, находящихся в разных местах. Интуитивно, в соответствии с принципом дальнодействия, пред­полагающим бесконечной скорость распро­странения взаимодействий (что дос­таточно оправдано для медленных движений), считалось очевидным, что раз­несённость событий в пространстве не может влиять на характер их времен­ного соотношения. Эйнштейн же предложил строгий способ установления фак­та одновремен­ности разноместных событий, основанный на размещении в этих цветах синхронизированных часов. Синхронизировать часы он предложил с помощью реального сигнала, обладающего наивысшей скоростью - светового сигнала. Одним из способов синхронизации часов в конкретной ИСО является такой: часы, находящиеся в точке с координатой х будут синхронизированы с единым центром в точке 0 - начале ИСО, если в момент прихода к ним светового сигнала, испущенного из точки 0 в момент t_о, они покажут время t_х = t_о + х/c.

Так как синхронизация осуществляется сигналом, обладающим высокой (предельно высо­кой), но не бесконечной скоростью, то часы, синхро­низи­ро­ванные в одной ИСО, окажутся разсинхрони­зиро­ванными в другой (и во всех других) ИСО в силу их относительного движения. Следствием этого и является относительность одновременности разноместных событий и отно­сительность временных и пространственных интерва­лов (длительностей и длин).

Формально этот вывод следующим образом вытекает из преобразований Лоренца:
в ИСО (К^¢) событию 1 соответствует момент времени t₁^¢ = (t₁ - VХ₁/С²)/Ö(1 - V²/С²), а событию 2 ® момент t₂^¢ = (t₂ – VХ₂/С²)/Ö(1 – V²/С²), так, что при t₁ = t₂, t₂^¢ – t₁^¢ = [(Х₁ – Х₂)V/С²]/Ö(1 – V²/С²), и два события 1 и 2, одновременные в одной ИСО – в ИСО (К), оказываются неодновременными в другой (в ИСО (К^¢).

В классическом (дорелятивистском) пределе, при V << с, t₂^¢ – t₁^¢ » 0, факт одновременно­сти двух событий становится аб­солютным, что, как уже говорилось, соответствует бесконечной скорости передачи взаимодействий и синхронизирующего сигнала: с ® ¥ или с >> V.

В релятивистской теории одновременность событий оказывается абсолют­ной лишь
в частном случае одноместных событий: при х₁ = х₂ всегда при t₁ = t₂ и t₁^¢ = t₂^¢.

4. Относительность длины тел (пространственных интервалов).

Пусть в ИСО (К) вдоль оси х покоится стержень длиной l_о = х₂ – х₁.

ИСО, в которой тело покоится, называется собственной для данного тела, а его
характеристики, в данном случае длина стержня, также называются собственны­ми.

В ИСО (К^¢), относительно которой стержень движется и которая называется лаборатор­ной ИСО, длина стержня l^¢ = х₂^¢ - х₁^¢ определяется как разность значений координат концов стержня, зафиксированных одновременно по часам данной ИСО, т. е., при t₁^¢ = t₂^¢.

Используя формулы преобразований Лоренца для х₁ и х₂, содержащие время
в штрихованной ИСО (К^¢), установим взаимосвязь l и l^¢:

х₁ = (х₁^¢ + Vt₁^¢)/Ö(1 - V²/с²); х₂ = (х₂^¢ + Vt₂^¢)/Ö(1 - V²/с²); Þ х₂ - х₁ = (х₂^¢ - х₁^¢)/Ö(1 - V²/с²)

или окончательно: l^¢ = l_оÖ(1 - V²/с²) – эта формула выражает закон прео­бразования длин
(пространственных интервалов), согласно которому в на­правлении перемещения размеры тел
сокращаются. Этот эффект относитель­ности длины тел, их релятивистского сокращения
в направлении перемещения является реальным, а не кажущимся физическим эффектом, но не динамичес­ким, не связанным с каким-либо силовым воздействием, вызывающем сжатие тел
и сокращение их размеров. Этот эффект является чисто кинематическим, связанным
с выбранным способом определения (измерения) длины и конечно­стью скорости распростране­ния взаимодействий. Его можно пояснить и так, что понятие длины перестало в СТО быть характеристикой только одного тела, самого по себе, а стало совместной характеристикой тела и системы отсчёта (подобно скорости тела, его импульсу, кинетической энергии и т. п.).

Такие характеристики, изменяются для разных тел в одной и той же ИСО, что естест­венно и привычно для нас. Но так же, хотя и менее привычно, они изменяются и для одного
и того же тела, но в разных ИСО. При малых скоростях движения этот эффект зависимости длины тела от выбора ИСО практически незаметен, почему в механике Ньютона (механике медлен­ных движений) он и не обращал на себя внимания.

Подобный же анализ преобразований Лоренца на предмет выяснения соотно­шения между длительностями двух процессов, измеряемых из разных ИСО, одна из которых является собст­венной, т. e. движется вместе с носителем процесса и измеряет его длительность (разность
моментов конца и начала процесса) t_о одними и теми же часами, приводит к следующим
результатам:

t^¢ = t_о/Ö(1 - V²/с²), где t_о - собственная длительность процесса (отсчитываемая одними и теми же часами, движущимися вместе с происходящими событиями, а t^¢ - длительность того же процесса, от­считываемая разными часами в ИСО, относительно которой носитель процесса движется и в моменты начала и конца процесса он находится в разных ее местах.

Иногда этот эффект интерпретируют так: говорят, что движущиеся часы идут медленнее неподвижных и отсюда выводят ряд парадоксов, в частности парадокс близнецов. Следует
отметить, что вследствие равноправия всех ИСО в СТО, все кинематические эффекты (и сокра­щения длины в направлении движения, и замедления времени - длительности движущимися относительно носителя процес­са часами) являются обратимыми. И хороший пример такой обратимости пред­ставляет собой опыт с мю - мезонами, нестабильными частицами, образую­щимися в результате взаимодействия с атмосферой, бомбардирующих её космических лучей. Физиков вначале удивило существование этих частиц на уровне моря, где они должны были бы распасться за время их жизни, т. е. не успеть до­лететь от верхних слоев атмосферы (где они образуются) до уровня моря.

Но дело оказалось в том, что физики вначале применили в расчётах соб­ственное время жизни пи - мезонов t_о = 2×10^-6 с, а расстояние, проходимое ими брали лабораторное, то есть
l = 20 км. Но либо в таком случае нужно и длину (путь, проходимый пи – мезонами) брать собственную, которая оказывается "сокращённой", "укороченной" соответственно множителю
Ö(l –V²/с²). Либо нужно не только длину, но и время брать лабораторным, а оно возрас­тает пропорционально 1/Ö(l–V²/с²). Таким образом, релятивистские эффекты преобразования временных и пространственных интервалов позволили физикам увязать концы с концами
в реальном эксперименте и явлении природы.

При малых скоростях V <<с релятивистская формула преобразо­вания длительностей процессов переходит в классическую t » t^¢. Соответственно длительность в этом предельном случае (приближении) теряет реля­тивистскую относительность и становится абсолютной,
т. е. не зависящей от выбора ИСО.

Пересматривается в СТО и закон сложения скоростей. Его релятивистскую (общую) форму можно получить, взяв дифференциалы от выражений для х, х^¢, t и t^¢, в формулах преобра­зований Лоренца и, поделив dх на dt и dх^¢ на dt^¢ , то есть, образовав из них скорости
u_х = dх/dt и u_х^¢ = dх^¢/dt^¢.

dх = (dх^¢ + Vdt^¢)/Ö(l –V²/с²); dt = (dt^¢ + Vdх^¢/с²)/Ö(l –V²/с²); Þ

dх/dt = (dх^¢ + Vdt^¢)/(dt^¢ + Vdх^¢/с²) = (dх^¢/dt^¢ + V)/[1 + V×(dх^¢/dt^¢)/с²] Þ u_х = (u_х^¢ + V)/(1 + V×u_х^¢/с²)

dх^¢ = (dх - Vdt)/Ö(l –V²/с²); dt^¢ = (dt - Vdх/с²)/Ö(l –V²/с²); Þ

dх^¢/dt = (dх - Vdt)/(dt - Vdх/с²) = (dх/dt - V)/[1 - V×(dх/dt)/с²] Þ u_х^¢ = (u_х - V)/(1 - V×u_х/с²)

Формулы u_х = (u_х^¢ + V)/(1 + V×u_х^¢/с²) и u_х^¢ = (u_х - V)/(1 - V×u_х/с²) и выражают собой
реля­тивистские законы сложения скоростей или, иначе говоря, преобразования скоростей
при пере­ходе от ИСО (К) к ИСО (К^¢) и наоборот.

В дорелятивистском пределе малых скоростей u << c эти формулы переходят в хорошо известные выражения классического (галилеевского) закона сложе­ния скоростей: u_х = u_х^¢ + V и u_х^¢ = u_х – V.

Интересно проследить, как релятивистская форма закона сложения скоростей согласована с принципом постоянства скорости света во всех ИСО. Если в ИСО (К^¢) имеем скорость u_х^¢ = с и ИСО (К^¢) движется относительно ИСО (К) тоже со скоростью V = с, то и относительно ИСО (К) скорость света будет по пре­жнему равна с:

u_х = (u_х^¢ + V)/(1 + V×u_х^¢/с²) = (с + с)/(1 + с×с/с²) = с. Классический же закон сложения приводил к результату: u_х = u_х^¢ + V = с + с = 2с, т. е. противоречил опыту, ибо не содержал
в себе ограничений на "потолок" скоростей.

 

55. Релятивистская динамика. Релятивистские масса и импульс.

Основной закон динамики. Связь между полной энергией и импульсом.

Требование обеспечения инвариантности такого фундаментального закона природы, как закон сохранения импульса, вынуждает перес­мотреть в СТО классическое определение
импульса Р = mu = m×dr/dt. Этот важнейший закон динамики будет инвариантным законом
(то есть выполнимым во всех ИСО), если заменить в определении импульса лабораторное время собственным (т. е. dt на dt_о), которое является инвариантным относительно преобразований
Лоренца. Итак, в СТО, Р = m×dr/dt_о, где dt_о - промежуток времени, определяемый по часам, движущимся вместе с материальной точкой, а dr – перемещение частицы в той ИСО, в которой определяется импульс.

T. к. dt_о = dt×Ö(l –u²/с²) , то Р = m×dr/dt_о = Р = m×(dr/dt_о)/Ö(l –u²/с²) = mu/Ö(l –u²/с²) - реляти­вистское выражение для импульса. При u << с оно переходит в классическое Р =mu.

Соответственно основной закон динамики материальной точки - 2-ой за­кон Ньютона
будет справедливым в СТО, т. е., релятивистки инвариантным, только в форме, приданной ему самим Ньютоном: dР/dt = F, где Р - релятивистский импульс, т. е.

Р = mu/Ö(l –u²/с²;

здесь масса утрачивает прежний смысл коэффициента пропорциональности между силой и ускорением.

Некоторые авторы релятивистское толкование импульса основывают на зависи­мости массы тела от скорости его движения: m = m_о/Ö(l –u²/с²). В последнее время от этого отходят.

 

56. Закон взаимосвязи массы и энергии. Кинетическая энергия в

релятивистской динамике.

Для получения релятивистского выражения для кинетической энергии ис­пользуем её связь с работой силы, а силу подставим из релятивистской формы основного закона динамики материальной точки:

dЕ_к = dА = Fdr = (dР/dt)dr = u×d[(mu/Ö(l –u²/с²)] = u{d(mu)/Ö(l –u²/с²) + mu×dÖ(l –u²/с²)} = u{m×du/Ö(l - u²/с²) + m×u×(u/с²)×du/Ö(l –u²/с²)³} = m×u×du/Ö(l –u²/с²) + m×u³×(du/с²)/Ö(l –u²/с²)³ = [m×u×du - m×u³×(du/с²) + m×u³×(du/с²)]/Ö(l - u²/с²)³ = m×u×du/Ö(l –u²/с²)³ = d[mс²/Ö(l –u²/с²)] Þ
Е_к = mс²/Ö(l –u²/с²) + const;

При u = 0, Е_к = 0, то есть mс²/Ö(l –u²/с²) + const = 0, откуда const = - mс² и

Е_к = mс²/Ö(l –u²/с²) - mс² = mс²[(1/Ö(l –u²/с²) – 1] .

При u << с, Ö(l –u²/с²) » 1 - u²/2с² и Е_к » mu²/2 переходит в известное из механики Ньютона выражение, справедливое при малых, дорелятивистских скоростях.

Кинетическая энергия, как энергия движения, предстает в виде разности энергий, одну
из которых естественно назвать полной энергией Е, а другую – E_о = mс² - энергией покоя:
Е_к = Е - Е_о.

Е = mс²/Ö(l - u²/с²) - полная энергия тела.

Из взаимосвязи массы m тела с энергией покоя Е_о = mс², следует, что всякое изменение Dm массы тела сопровождается изменением DЕ_о энергии покоя, так что DЕ_о = Dm×с² - закон взаимосвязи массы и энергии (покоя).

Энергия связи системы.

Масса образующейся составной частицы (системы) больше суммы масс ис­ходных частиц, т. к. кинетическая энергия соединяющихся частиц превращается в эквивалентное коли­чество энергии покоя. При обратном же процессе распада неподвижной частицы на составляю­щие её и разлетаю­щиеся в разные стороны частицы сумма масс образовавшихся частиц оказы­вается меньше массы исходной составной частицы на величину, равную сум­марной кинетиче­ской энергии разлетающихся частиц, деленной на с².

Связь частиц в составе более сложной частицы можно характеризовать энергией связи Е_св, численно равной работе, которую нужно затратить, чтобы преодолеть силы связи, разводя частицы на расстояние, где их вза­имодействие убывает до нуля:

Е_св = Sm_iс² - Мс², где М - масса системы. Здесь имеет место нарушение свойства аддитивности массы.

 

Соотношение между полной энергией и импульсом частицы.

Для установления взаимосвязи полной энергии с импульсом частицы, возве­дём её
в квадрат и разделим на с²:

Е = mс²/Ö(l –u²/с²) ® Е² – Е² u²/с² = m²с⁴ или, так как Р = mu/Ö(l –u²/с²) = Еu/с² Þ

Е² – Р²с² = m²с⁴ = const, или Е²/с² – Р² = m²с² = Inv

Энергия и импульс изменяются при переходе от одной ИСО к другой, но изменяются взаимосогласованно, образуя единую меру движения материи, на­зываемую комбинацией /тензором/ энергии - импульса. Подобно кинематическо­му инварианту - интервалу, объединив­шему в себе длину и длительность, тензор энергии - импульса образует динамический инвари­ант, объединяющий меры движения, сохранение которых тесно связано со свойствами симмет­рии пространства и времени – их однородностью.