Признаки сравнения для положительных числовых рядов
Существуют два признака сравнения, один из них я буду называть просто признаком сравнения, другой – предельным признаком сравнения. Сначала рассмотрим признак сравнения. На практике он встречается довольно редко, но эта статья была бы неполной без данной информации. Признак сравнения:Рассмотрим два положительных числовых ряда и . Если известно, что ряд – сходится, и выполнено неравенство (для ), то ряд тоже сходится. Иными словами: Из сходимости ряда с бОльшими членами следует сходимость ряда с меньшими членами. Пример 8 Исследовать ряд на сходимость Заглядываем в «пачку» обобщенного гармонического ряда и находим похожий ряд: Из теории известно, что он сходится. Теперь нам нужно показать, что для всех значений справедливо неравенство . Если , то Оформить решение можно так: Проанализируем признак сравнения и решенный пример с неформальной точки зрения. Все-таки, почему ряд сходится? А вот почему. Если ряд сходится, то он имеет некоторую конечную сумму : . И поскольку все члены ряда меньше соответствующих членов ряда , то ясен пень, что сумма ряда не может быть больше числа , и тем более, не может равняться бесконечности! Аналогично можно доказать сходимость «похожих» рядов: , , и т.д. ! Обратите внимание, что во всех случаях в знаменателях у нас находятся «плюсы». Наличие хотя бы одного минуса может серьёзно осложнить использование рассматриваемого признака сравнения. Например, если ряд таким же образом сравнить со сходящимся рядом ( выпишите несколько неравенств для первых членов), то условие не будет выполняться вообще! Здесь можно извернуться и подобрать для сравнения другой сходящийся ряд, например, , но это повлечёт за собой лишние оговорки и другие ненужные трудности. Поэтому для доказательства сходимости ряда гораздо проще использовать предельный признак сравнения (см. следующий параграф). Пример 9 Исследовать ряд на сходимость В примере я предлагаю самостоятельно рассмотреть вторую «зеркальную» часть теоремы: Если известно, что ряд – расходится, и выполнено неравенство (для ), то ряд тоже расходится. Что нужно сделать? Решение и образец оформления в конце урока. Как уже отмечалось, на практике только что рассмотренный признак сравнения применяют редко. Настоящей «рабочей лошадкой» числовых рядов является предельный признак сравнения, и по частоте использования с ним может конкурировать разве что признак Даламбера. ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|