 |
|
Признак сходимости Даламбера
Жан Лерон Даламбер – это знаменитый французский математик 18-го века. Вообще, Даламбер специализировался на дифференциальных уравнениях и на основании своих исследований занимался баллистикой, чтобы у Его Величества лучше летали пушечные ядра. Заодно и про числовые ряды не забыл, не зря потом шеренги наполеоновских войск так четко сходились и расходились.
Перед тем как сформулировать сам признак, рассмотрим важный вопрос:
Когда нужно применять признак сходимости Даламбера?
Сначала начнем с повторения. Вспомним случаи, когда нужно применять самый ходовой предельный признак сравнения. Предельный признак сравнения применяется тогда, когда в общем члене ряда:
1) В знаменателе находится многочлен.
2) Многочлены находятся и в числителе и в знаменателе.
3) Один или оба многочлена могут быть под корнем.
Основные же предпосылки для применения признака Даламбера следующие:
1) В общий член ряда («начинку» ряда) входит какое-нибудь число в степени, например, 
, 
, 
и так далее. Причем, совершенно не важно, где эта штуковина располагается, в числителе или в знаменателе – важно, что она там присутствует.
2) В общий член ряда входит факториал. С факториалами мы скрестили шпаги ещё на уроке Числовая последовательность и её предел. Впрочем, не помешает снова раскинуть скатерть-самобранку:
…
…
! При использовании признака Даламбера нам как раз придется расписывать факториал подробно. Как и в предыдущем пункте, факториал может располагаться вверху или внизу дроби.
3) Если в общем члене ряда есть «цепочка множителей», например, 
. Этот случай встречается редко, но! При исследовании такого ряда часто допускают ошибку – см. Пример 6.
Вместе со степенями или (и) факториалами в начинке ряда часто встречаются многочлены, это не меняет дела – нужно использовать признак Даламбера.
Кроме того, в общем члене ряда может встретиться одновременно и степень и факториал; может встретиться два факториала, две степени, важно чтобы там находилось хоть что-то из рассмотренных пунктов – и это как раз предпосылка для использования признака Даламбера.
Признак Даламбера: Рассмотрим положительный числовой ряд 
. Если существует предел отношения последующего члена к предыдущему: 
, то:
а) При 
ряд сходится. В частности, ряд сходится при 
.
б) При 
ряд расходится. В частности, ряд расходится при 
.
в) При 
признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак. Чаще всего единица получается в том случае, когда признак Даламбера пытаются применить там, где нужно использовать предельный признак сравнения.
У кого до сих пор проблемы с пределами или недопонимание пределов, обратитесь к уроку Пределы. Примеры решений. Без понимания предела и умения раскрывать неопределенность 
дальше, к сожалению, не продвинуться.
А сейчас долгожданные примеры.
Пример 1
Пример 1
Исследовать ряд на сходимость 
Мы видим, что в общем члене ряда у нас есть 
, а это верная предпосылка того, что нужно использовать признак Даламбера. Сначала полное решение и образец оформления, комментарии ниже.
Используем признак Даламбера:
Таким образом, исследуемый ряд сходится.
(1) Составляем отношение следующего члена ряда к предыдущему: 
. Из условия мы видим, что общий член ряда 
. Для того, чтобы получить следующий член ряда необходимо вместо
подставить 
: 
.
(2) Избавляемся от четырехэтажности дроби. При определенном опыте решения этот шаг можно пропускать.
(3) В числителе раскрываем скобки. В знаменателе выносим четверку из степени.
(4) Сокращаем на . Константу 
выносим за знак предела. В числителе в скобках приводим подобные слагаемые.
(5) Неопределенность 
устраняется стандартным способом – делением числителя и знаменателя на «эн» в старшей степени.
(6) Почленно делим числители на знаменатели, и указываем слагаемые, которые стремятся к нулю.
(7) Упрощаем ответ и делаем пометку, что 
с выводом о том, что, по признаку Даламбера исследуемый ряд сходится.
В рассмотренном примере в общем члене ряда у нас встретился многочлен 2-ой степени. Что делать, если там многочлен 3-ей, 4-ой или более высокой степени? Дело в том, что если дан многочлен более высокой степени, то возникнут трудности с раскрытием скобок. В этом случае можно применять «турбо»-метод решения.
Пример 2
Возьмём похожий ряд и исследуем его на сходимость
Сначала полное решение, потом комментарии:
Используем признак Даламбера:
Таким образом, исследуемый ряд сходится.
(1) Составляем отношение .
(2) Избавляемся от четырехэтажности дроби.
(3) Рассмотрим выражение 
в числителе и выражение 
в знаменателе. Мы видим, что в числителе нужно раскрывать скобки и возводить в четвертую степень: 
, чего делать совершенно не хочется. Кроме того, для тех, кто не знаком с биномом Ньютона, данная задача вообще может оказаться невыполнимой. Проанализируем старшие степени: если мы вверху раскроем скобки 
, то получим старшую степень 
. Внизу у нас такая же старшая степень: . По аналогии с предыдущим примером, очевидно, что при почленном делении числителя и знаменателя на у нас в пределе получится единица. Или, как говорят математики, многочлены и 
– одного порядка роста. Таким образом, вполне можно обвести отношение 
простым карандашом и сразу указать, что эта штука стремится к единице. Аналогично расправляемся со второй парой многочленов: и 
, они тоже одного порядка роста, и их отношение стремится к единице.
На самом деле, такую «халтуру» можно было провернуть и в Примере №1, но для многочлена 2-ой степени такое решение смотрится всё-таки как-то несолидно. Лично я поступаю так: если есть многочлен (или многочлены) первой или второй степени, я использую «длинный» способ решения Примера 1. Если попадается многочлен 3-ей и более высоких степеней, я использую «турбо»-метод по образцу Примера 2.
Пример 3
Исследовать ряд на сходимость 
Полное решение и образец оформления в конце урока
Рассмотрим типовые примеры с факториалами:
Пример 4
Исследовать ряд на сходимость 
В общий член ряда входит и степень, и факториал. Ясно, как день, что здесь надо использовать признак Даламбера. Решаем.
Таким образом, исследуемый ряд расходится.
(1) Составляем отношение . Повторяем еще раз. По условию общий член ряда: 
. Для того чтобы получить следующий член ряда, вместо нужно подставить , таким образом: 
.
(2) Избавляемся от четырехэтажности дроби.
(3) Отщипываем семерку от степени. Факториалы расписываем подробно. Как это сделать – см. начало урока или статью о числовых последовательностях.
(4) Сокращаем всё, что можно сократить.
(5) Константу 
выносим за знак предела. В числителе раскрываем скобки.
(6) Неопределенность устраняем стандартным способом – делением числителя и знаменателя на «эн» в старшей степени.
Пример 5
Исследовать ряд на сходимость 
Полное решение и образец оформления в конце урока
Пример 6
Исследовать ряд на сходимость 
Иногда встречаются ряды, которые в своей начинке содержат «цепь» множителей, этот тип ряда мы еще не рассматривали. Как исследовать ряд с «цепочкой» множителей? Использовать признак Даламбера. Но сначала для понимания происходящего распишем ряд подробно:
Из разложения мы видим, что у каждого следующего члена ряда добавляется дополнительный множитель в знаменателе, поэтому, если общий член ряда 
, то следующий член ряда:
. Вот здесь часто автоматом допускают ошибку, формально по алгоритму записывая, что 
Примерный образец решения может выглядеть так:
Используем признак Даламбера:
Таким образом, исследуемый ряд сходится.