Главная | Обратная связь

Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбница).

Если

1. Последовательность, составленная из модулей членов знакочередующегося ряда, монотонно убывает, т.е. ;

2. Выполняется необходимый признак сходимости ряда, т.е. ,

то ряд сходится. Его сумма по абсолютной величине не превосходит абсолютную величину первого члена.

Доказательство. Рассмотрим последовательность чётных частичных сумм ряда. Представим эту сумму в виде . Из первого условия теоремы следует, что суммы в круглых скобках неотрицательны, поэтому последовательность монотонно возрастает с ростом n. С другой стороны, , т.е. эта последовательность ограничена сверху величиной . Следовательно . Но для нечётных сумм , так как по второму условию теоремы . Таким образом, частичные суммы имеют предел независимо от их четности или нечётности, т.е. ряд сходится, и его сумма . Знак суммы совпадает со знаком первого члена.

С помощью признака Лейбница доказывается сходимость рядов , . , и т.д. Третий из этих рядов сходится абсолютно ( сходится), остальные - условно (ряды из модулей членов расходятся). Естественно, существуют знакочередующиеся ряды, для которых условия теоремы Лейбница могут не выполняться; если не выполняется второе условие - необходимый признак сходимости - то ряд заведомо расходится; если не выполняется первое условие, то задача должна решаться с помощью других соображений. Рассмотрим, например, ряд Понятно, что первое условие теоремы Лейбница не выполняется (например, ), поэтому эта теорема неприменима и требуется изобрести индивидуальный способ решения этой задачи. Сгруппируем члены попарно: Сумма в скобке , поэтому последний ряд (со скобками) расходится. Последовательность чётных частичных сумм неограничена, поэтому исходный ряд расходится.

У теоремы Лейбница есть исключительно важный для приложений вывод - вывод о том, что сумма знакочередующегося ряда (или, как говорят, ряда лейбницевского типа) по модулю не больше модуля первого члена: . На нашем уровне нас интересует, в основном, вопрос о сходимости ряда, но при решении практических задач вслед за вопросом о сходимости ряда встаёт вопрос о нахождении его суммы. Основной метод суммирования рядов - вычисление его частичной суммы с количеством слагаемых, обеспечивающим заданную точность. Рассмотрим два примера: найти суммы рядов и с погрешностью, не превышающей . Оба ряда сходятся (пример 1 раздела 1.3.3.Признак сходимости Даламбера). Основная проблема здесь - найти, какое количество n слагаемых надо взять, чтобы частичная сумма отличалась от суммы ряда S не более, чем на . Так как , где - остаток ряда после n-го члена, и мы хотим принять , то должно быть . И здесь выясняется различие в технике оценки остатка для Лейбницевских рядов с одной стороны и произвольных рядов с другой стороны. Остаток знакочередующегося ряда - тоже знакочередующийся ряд, поэтому он подчиняется выводу теоремы Лейбница: . Другими словами, остаток знакочередующегося ряда по модулю не превосходит первый свой член (или первый отброшенный член ряда). Поэтому для первого из рассматриваемых рядов условие сводится к . Подбором убеждаемся, что первое значение n, для которого это условие выполняется, есть n =7 (7!=5040, 8!=40320), поэтому для нахождения суммы ряда с погрешностью, не превышающей величину , достаточно взять 7 слагаемых:

(при вычислениях с точностью до в промежуточных выкладках необходимо удерживать не меньше, чем 5 знаков после запятой. Дальше мы поймём, что вычислено значение с четырьмя верными цифрами после запятой).

Переходим ко второму ряду. Это знакопостоянный ряд, поэтому единственное, что мы можем сделать - напрямую оценить остаток ряда . Пока единственный ряд, для которого мы знаем выражение суммы - геометрическая прогрессия , поэтому надо в той или иной форме свести остаток к геометрической прогрессии. В данном случае это сделать просто: . Для каждого из слагаемых в круглой скобке верна оценка , поэтому . Ряд в круглых скобках - геометрическая прогрессия со знаменателем , его сумма равна , следовательно, . Теперь надо найти такое n, что . Перебором различных значений n убеждаемся, что и в этом случае можно взять n =7 (выражение равно 0,0002268 при n = 6 и 0,000028 при n = 8. Итак, . Это значение числа е с четырьмя верными цифрами после запятой.