Признаки сравнения. Признак Даламбера. Радикальный признак Коши. Интегральный признак сходимости.
При исследовании числовых рядов на сходимость непосредственный поиск предела частичных сумм является в большинстве случаев весьма затруднительным. Вместо этого удобно использовать специальные признаки сходимости рядов. В частности, в этой лекции будут сформулированы и доказаны некоторые признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.
Интегральный признак Коши. Теорема 2.1. Если функция f неотрицательна и убывает на полупрямой х ≥ 1, то ряд сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом . Доказательство. у Выберем натуральное число k и рассмот- рим значения х на отрезке k ≤ x ≤ k + 1. y=f(x) Тогда в силу убывания функции f f(k) ≥ f(x) ≥ f(k + 1). Проинтегрировав это неравенство по отрезку единичной длины [k, k + 1], получим:
O 1 k k+1 x откуда . Складывая подобные неравенства, полученные при значениях k от 1 до п, приходим к неравенству: откуда , (2.1) где . Если ряд сходится и сумма его равна s, то sn ≤ s, следовательно, , поэтому сходится (см. лемму из лекции №15 2-го семестра). Если же, наоборот, предположить, что сходится , то из (2.1) следует, что . Значит, последовательность частичных сумм ряда ограничена сверху и возрастает, следовательно, по теореме 1.6 ряд сходится.
Пример. Применим интегральный признак Коши к исследованию сходимости рядов вида , сравнивая их с интегралами Рассмотрим следующие возможные значения α: а) α > 1. Тогда (так как при α > 1 ). Следовательно, несобственный интеграл сходится, а значит, сходится и рассматриваемый ряд. б) α = 1. При этом - интеграл расходится, поэтому расходится и ряд. в) α < 1. Тогда (так как при α < 1 ). Из расходимости несобственного интеграла следует расходимость исследуемого ряда.
Замечание. Итак, ряд вида сходится при α > 1 и расходится при α ≤ 1.Это свойство ряда будет часто использоваться в дальнейшем.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|