Необходимый признак сходимости рядаСтр 1 из 6Следующая ⇒
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Методическая разработка
Составитель: доцент Путятина Е.Н.
Томск 2012
Одобрено кафедрой общей математики Зав. кафедрой доцент Е.Н.Путятина
Рассмотрено и утверждено методической комиссией ММФ Протокол № от ______ 2012 г. Председатель комиссии О.П.Федорова
В методической разработке изложена теоретическая часть занятий по теме «Числовые ряды и бесконечные произведения » и предложены разнообразные задачи. Методические указания разработаны для студентов физического факультета, физико-технического факультета, радиофизического факультета дневной формы обучения.
Свойства сходящихся рядов
Определение 1. Пусть задана последовательность комплексных чисел . Составленный из этих чисел символ называется числовым рядом, а число - его общим членом. Определение 2. Сумма первых членов ряда называется -той частичной суммой этого ряда, а ряд называется -тым остатком ряда. Определение 3. Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм имеет конечный предел: Значение этого предела называется суммой ряда. Если последовательность не имеет предела или , то ряд называется расходящимся. В примерах 1-6 доказать непосредственно сходимость ряда и найти его сумму. Пример. 1 Так как то поэтому Пример 2. Рассмотрим разность откуда находим: Так как при то существует Пример 3. . Используя равенство получим: В первой сумме сделаем замену на (т.е. суммирование будет осуществляться от до ), а во второй сумме заменим на , будем иметь: откуда Пример 4. . Учитывая, что для получим: поэтому существует Пример 5. . Частичная сумма ряда равна: Рассмотрим произведение: но поэтому и откуда Следовательно, существует Пример 6. Используем формулу Для получим: для Следуя методу математической индукции, предположим, что и докажем, что Действительно, Тогда существует
Необходимый признак сходимости ряда Если ряд сходится, то Этот признак удобно использовать для доказательства расходимости ряда. Ведь если не существует или то ряд расходится. В примерах 7-10 доказать расходимость ряда, используя необходимый признак сходимости: Пример 7. . Пример 8. . Пример 9. . Пример 10. (использовали эквивалентность при ).
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|