Здавалка
Главная | Обратная связь

Необходимый признак сходимости ряда



ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ

 

Методическая разработка

 

 

Составитель:

доцент Путятина Е.Н.

 

Томск 2012

 

 

Одобрено кафедрой общей математики

Зав. кафедрой доцент Е.Н.Путятина

 

 

Рассмотрено и утверждено методической комиссией ММФ

Протокол № от ______ 2012 г.

Председатель комиссии О.П.Федорова

 

 

В методической разработке изложена теоретическая часть занятий по теме «Числовые ряды и бесконечные произведения » и предложены разнообразные задачи.

Методические указания разработаны для студентов физического факультета, физико-технического факультета, радиофизического факультета дневной формы обучения.

 

Свойства сходящихся рядов

 

Определение 1.

Пусть задана последовательность комплексных чисел . Составленный из этих чисел символ называется числовым рядом, а число - его общим членом.

Определение 2.

Сумма первых членов ряда

называется -той частичной суммой этого ряда, а ряд называется -тым остатком ряда.

Определение 3.

Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм имеет конечный предел: Значение этого предела называется суммой ряда. Если последовательность не имеет предела или , то ряд называется расходящимся.

В примерах 1-6 доказать непосредственно сходимость ряда и найти его сумму.

Пример. 1

Так как то

поэтому

Пример 2.

Рассмотрим разность

откуда находим:

Так как при то существует

Пример 3. .

Используя равенство

получим:

В первой сумме сделаем замену на (т.е. суммирование будет осуществляться от до ), а во второй сумме заменим на , будем иметь:

откуда

Пример 4. .

Учитывая, что для получим:

поэтому существует

Пример 5. .

Частичная сумма ряда равна:

Рассмотрим произведение:

но поэтому

и

откуда

Следовательно, существует

Пример 6.

Используем формулу

Для получим: для

Следуя методу математической индукции, предположим, что и докажем, что Действительно,

Тогда существует

 

Необходимый признак сходимости ряда

Если ряд сходится, то

Этот признак удобно использовать для доказательства расходимости ряда. Ведь если не существует или то ряд расходится.

В примерах 7-10 доказать расходимость ряда, используя необходимый признак сходимости:

Пример 7. .

Пример 8. .

Пример 9. .

Пример 10.

(использовали эквивалентность при ).

 







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.