Здавалка
Главная | Обратная связь

Упражнения для самостоятельной работы



 

1. Доказать непосредственно сходимость следующих рядов и найти их суммы:

1) 2) 3) 4)

4) 5)

6) 7) 8)

9) 10) 11)

12) 13)

2.Доказать расходимость ряда, используя необходимый признак сходимости:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

3.Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость следующих рядов:

1)

2)

3)

4) .

4.Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость следующих рядов:

1) 2)

3) 4)

 

 

§2. Ряды с неотрицательными членами

 

Рассмотрим ряд , где Для исследования данного ряда на сходимость существует достаточно много эффективных признаков.

Критерий сходимости ряда с неотрицательными членами

Ряд с неотрицательными членами сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена сверху:

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд

Так как то

поэтому ряд сходится.

 

Признаки сравнения

1. Если для всех выполняется неравенство то из сходимости ряда следует сходимость ряда а из расходимости ряда следует расходимость ряда

2. Если для всех и существует конечный предел то: а) при из сходимости ряда следует сходимость ряда

б) при из расходимости ряда следует

расходимость ряда При ряды

сходятся либо расходятся одновременно.

Применение признаков сравнения предполагает наличие рядов, о поведении которых заранее известно и которые могут использоваться для сравнения. Одним из таких рядов является обобщённый гармонический ряд сходящийся при и расходящийся, если Исследование на сходимость обобщённого гармонического ряда будет проведено в примере 14.

В примерах 2-8 исследовать ряды на сходимость, пользуясь признаками сравнения:

Пример 2. .

Для выполнено неравенство: а ряд сходится, следовательно, сходится и исходный ряд.

Пример 3. .

Так как то поэтому для всех справедливо неравенство:

а из расходимости ряда следует расходимость данного ряда.

Пример 4. .

Для имеет место неравенство:

Покажем, что ряд сходится. Для сравнения используем сходящийся ряд поэтому согласно второму признаку сравнения ряд сходится.

Следовательно, исходный ряд сходится по первому

признаку сравнения.

Пример 5.

Общий член данного ряда при эквивалентен а ряд сходится, поэтому сходится и исходный ряд.

Пример 6. .

Так как при то при Но ряд расходится, следовательно, расходится и исходный ряд.

Пример 7. .

Преобразуем общий член ряда:

откуда следует, что при Ряд сходится, если т.е. и расходится, если т.е. Итак, данный ряд сходится при

Пример 8. .

Воспользуемся известным неравенством: , если и . Тогда , с другой стороны:

.

Поэтому .

Так как ряд сходится, то сходится и данный ряд.

Замечание: для доказательства использованного неравенства можно исследовать на экстремум функцию и показать, что .

 

Признак Даламбера

Если для ряда существуют такое число и такой номер что для всех выполняется неравенство то этот ряд сходится, если же для всех имеет место неравенство то ряд расходится.

Следствие. Если существует то при ряд сходится, а при расходится. При признак Даламбера ответа не даёт.

 

В примерах 9-11 исследовать ряды на сходимость с помощью признака Даламбера:

Пример 9. .

Будем использовать следствие: ,

следовательно, ряд расходится.

Пример 10. , .

- исходный ряд сходится.

Пример 11.

Если то ряд сходится, если же - расходится.

 

Признак Коши

Если для ряда существуют такие число и номер что для всех выполняется неравенство то этот ряд сходится, если же для всех имеет место неравенство то ряд расходится.

Следствие.Если существует то при ряд сходится, а при ряд расходится. При признак Коши ответа не даёт.

 

В примерах 12-14 исследовать ряды на сходимость с помощью признака Коши:

Пример 12. .

Учитывая, что для и будем иметь:

поэтому ряд сходится.

Пример 13. .

следовательно, ряд сходится.

Пример 14.

для поэтому ряд сходится.

Признак Коши является более сильным, чем признак Даламбера: из существования следует существование причём Обратное неверно: например, для ряда величина а не существует. Так что если для какого-то ряда то нет смысла использовать признак Даламбера, он ответа не даст.

 







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.