Главная | Обратная связь

Абсолютная и условная сходимость

Определение 1. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

При исследовании рядов на абсолютную сходимость к ряду могут быть применены все признаки сходимости для положительных рядов.

Имеют место следующие важные теоремы:

1. абсолютно сходящийся ряд сходится;

2. абсолютно сходящийся ряд обладает переместительным свойством;

3. если ряды и сходятся абсолютно, то ряд, составленный из всевозможных произведений занумерованных в каком угодно порядке, также сходится абсолютно и его сумма равна

В примерах 1-4 доказать абсолютную сходимость ряда :

Пример 1. .

Ряд легко исследовать на сходимость по признаку сравнения с рядом , который сходится:

Пример 2. .

Для доказательства сходимости ряда применим признак Даламбера:

Следовательно, ряд сходится абсолютно.

Пример 3. .

Так как то Воспользуемся методом выделения главной части:

поэтому

следовательно,

Таким образом, при а ряд сходится, поэтому исходный ряд сходится абсолютно.

Пример 4. .

Так как то

а ряд сходится, что доказано в примере 2 § 1 для более общего случая Итак, данный ряд сходится абсолютно.

Определение 2. Ряд называется условно сходящимся, если этот ряд сходится, а ряд расходится.

Теорема Римана.

Если ряд , сходится условно, то каково бы ни было наперёд заданное число (включая ), можно так переставить члены этого ряда, чтобы преобразованный ряд сходился к числу

Для исследования рядов на сходимость существует несколько достаточных признаков. Рассмотрим их.

Определение 3. Ряд вида где либо для называется знакочередующимся.

Признак Лейбница.

Знакочередующийся ряд сходится, если: а) б)

В этом случае для остатка ряда имеем оценку:

В примерах 5-7 исследовать на сходимость знакочередующиеся ряды.

Пример 5. .

Согласно признаку Лейбница требуется доказать, что и Правило Лопиталя приводит

к результату: Обозначив докажем, что убывает:

если т.е. Следовательно, последовательность монотонно убывает для а исходный ряд сходится по признаку Лейбница.

Пример 6. .

Так как при то и последовательность монотонно убывает, поэтому данный ряд сходится по признаку Лейбница.

Пример 7.

Преобразуем общий член ряда:

Ряд сходится по признаку Лейбница: последовательность монотонно убывает ( для ); а ряд с положительными членами расходится. Следовательно, исходный ряд также расходится.

Отметим, что если данный ряд сравнить со сходящимся рядом то отношение их общих членов стремится к 1 (т.е. при - последовательность членов данного расходящегося ряда эквивалентна последовательности членов сходящегося ряда). Внимание! Делать вывод о сходимости или расходимости ряда по поведению ряда , где при возможно только для рядов с положительными членами!!

Убедимся в том, что каждое из трёх условий в признаке Лейбница является существенным. Во-первых, существенность условия вытекает из необходимого признака сходимости рядов. Во-вторых, в признаке Лейбница нельзя отбросить условие знакочередуемости. Для иллюстрации этого рассмотрим ряд: . Абсолютные величины членов ряда не возрастают и стремятся к нулю, но его частичные суммы равны а остальные частичные суммы принимают промежуточные значения (между нулём и единицей), поэтому ряд расходится. То, что не является лишним требование монотонности, демонстрируют уже рассмотренный в примере 7 ряд а также следующий ряд: .

Сумма его членов равна:

-

- удвоенной сумме членов расходящегося гармонического ряда. Следовательно, Здесь налицо нарушение монотонности при переходе от члена

к члену (их отношение меньше 1).

Пример 8. Исследовать на сходимость ряд

В данном ряде за группой отрицательных членов следует группа положительных и т.д. Объединим каждую такую группу членов одного знака в один член, тогда получим ряд: который будем исследовать на сходимость по признаку Лейбница. Так как

то члены рассматриваемого ряда при будут стремиться к нулю, монотонно убывая по абсолютной величине. Поэтому ряд сходится, а вместе с ним будет сходиться и исходный ряд (см. замечание к теореме о сочетательном свойстве рядов в § 1).

Для общего случая знакопеременных рядов либо для рядов с комплексными членами справедливы признаки Абеля и Дирихле.

Признак Абеля. Ряд где сходится, если: а) ряд сходится; б) последовательность монотонна и ограничена.

Признак Дирихле. Ряд , где сходится, если: а) частичные суммы ряда в совокупности ограничены, т.е. б) последовательность при монотонно стремится к нулю.

Отметим: 1) признак Лейбница является частным случаем признака Дирихле при 2) признак Абеля вытекает из признака Дирихле, ведь из предположений Абеля следует, что существует а тогда - здесь второй ряд сходится по предположению а) признака Абеля, а к первому можно применить признак Дирихле.

В примерах 9-12 исследовать ряды на сходимость:

Пример 9. .

Применим признак Абеля. Ряд сходится по признаку Лейбница, а последовательность монотонно возрастает и ограничена:

поэтому данный ряд сходится.

Пример 10. .

Преобразуем общий член ряда: поэтому . Ряд сходится по признаку Лейбница, а к ряду применим признак Дирихле: при монотонно, а

Следовательно, ряд сходится, а значит сходится и исходный ряд.

Пример 11. .

Используя признак Абеля, покажем, что ряд сходится, а последовательность монотонна и ограничена. Для доказательства сходимости ряда применим признак Дирихле: последовательность монотонно при а частичные суммы ряда в совокупности ограничены: так как а поэтому ряд сходится. Последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху числом Следовательно, исходный ряд сходится.

Пример 12. .

К данному ряду также применим признак Абеля. Докажем, следуя признаку Дирихле, что ряд сходится, а последовательность монотонна и ограничена. Действительно, частичные суммы ряда ограничены в совокупности:

а последовательность

монотонно при поэтому ряд

сходится. Последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху:

Следовательно, исходный ряд сходится по признаку Абеля.

В примерах 13-15 исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость.

Пример 13. .

Преобразуем общий член ряда, используя формулу Тейлора:

Ряд сходится по признаку Лейбница при а обобщённый гармонический ряд сходится при Следовательно, данный ряд сходится при

Для исследования ряда на абсолютную сходимость используем оценку:

Ряды и по признаку сравнения с рядом сходятся при и расходятся при Поэтому из сходимости ряда при следует сходимость рассматриваемого ряда, а из расходимости ряда при следует расходимость ряда Итак, данный ряд сходится абсолютно при и условно при

Пример 14. .

Простейшая оценка не даёт информации о поведении ряда Будем использовать признак Абеля. Положим:

Ряд сходится условно по признаку Дирихле: а при монотонно стремится к нулю. Последовательность монотонна и ограничена: Следовательно, данный ряд сходится по признаку Абеля.

Расходимость ряда следует из неравенства: и расходимости ряда ведь ряд расходится, а ряд сходится по признаку Дирихле: монотонно при а Следовательно, данный ряд сходится условно.

Пример 15.

Так как при необходимый признак сходимости не выполняется, то ряд расходится.

Для исследования на сходимость применим признак Лейбница: 1) из очевидного при неравенства следует монотонное убывание последовательности ; 2) условие вытекает из неравенства

по принципу двустороннего ограничения также при . Следовательно, при данный ряд сходится.

Для ряда с использованием формулы Тейлора будем иметь:

, где , поэтому по признаку Гаусса ряд сходится при и расходится при .

Тогда исходный ряд сходится абсолютно при , а при сходится условно.