Интегральный признак Коши-Маклорена

Пусть функция , определённая для непрерывная, положительная и монотонно убывающая. Тогда, если функция при имеет конечный предел, то ряд сходится. Если же то ряд расходится.

Пользуясь интегральным признаком, исследовать на сходимость ряды в примерах 15-16.

Пример 15. .

Для первообразная имеет вид:

поэтому при , и ряд расходится, если же то , и ряд сходится.

Пример 16.

Если то поэтому согласно результатам предыдущего примера данный ряд сходится при и расходится при

Интегральный признак Коши-Маклорена является, как видно из его формулировки, необходимым и достаточным признаком. Это значит, что он устанавливает сходимость любого сходящегося ряда и расходимость любого расходящегося ряда из сферы своей применимости. Однако при изучении рядов ограничиться одним только интегральным признаком сходимости нельзя, поскольку применение его не всегда возможно.

Рассмотрим два признака, являющихся и удобными в обращении, и значительно более чувствительными, чем признаки Коши и Даламбера.

Признак Раабе

Если для ряда , существует , то при ряд сходится, а при расходится. При признак ответа не даёт.

В примерах 17-19, пользуясь признаком Рабе, исследовать ряды на сходимость.

Пример 17. .

Так как то и признак Даламбера ответа не даёт. Однако и ряд расходится.

Пример 18. .

- данный ряд сходится.

Пример 19. ,

следовательно, ряд сходится, если и расходится, если При признак Раабе не даёт ответа.

Признак Гаусса

Если для ряда отношение может быть представлено в виде: где то: а) при ряд сходится, а при расходится; б) при ряд сходится в случае, когда и расходится, если

Исследовать на сходимость ряды, используя признак Гаусса:

Пример 20. .

В примере 10 был исследован ряд , и на основании признака Даламбера показано, что ряд сходится при и расходится при В случае признак Даламбера неприменим - Воспользуемся признаком Гаусса:

Так как

то

Итак, и ряд расходится.

Пример 21. .

Следовательно, , и ряд сходится, если и расходится при

Пример 22.

Так как и

где то

Если т.е. то ряд сходится. Если же то ряд расходится.

Как следует из примеров 19-21, применение признака Гаусса требует порой использования формулы Тейлора. Метод выделения главной части при исследовании на сходимость положительных рядов является достаточно эффективным. Если с помощью формулы Тейлора удаётся получить асимптотическую формулу вида при то при ряд сходится, а при расходится.

В примерах 23-25 исследовать ряды на сходимость, получив асимптотическую формулу вида при

Пример 23. .

поэтому при Но ряд сходится для по признаку сравнения с рядом : Следовательно, при исходный ряд сходится, если же то и ряд расходится.

Пример 24. .

Отметим, что при данный ряд расходится, ибо для него не выполнен необходимый признак сходимости ряда. Пусть Тогда при (так как при ). Исследуем на сходимость ряд Если то данный ряд сходится по второму признаку сравнения с рядом , где и такое, что Если же то ряд расходится по первому признаку сравнения: Таким образом, исходный ряд сходится, если