Здавалка
Главная | Обратная связь

Матрицы и операции над ними.



1. Сложение (вычитание) матриц одинакового размера осуществляется поэлементно:

C=A+B,если сij = aij+bij; i=1,2,…,m; j=1,2,…,n.

2. Умножение матрицы на число- каждый элемент матрицы умножается на это число:

B = λA,если bij=λaij; i=1,2,…,m; j=1,2,…,n.

3. Умножение матрицы А на матрицу В определено,когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.Тогда произведением матрицы

А * В называется такая матрица С, каждый элемент cij которой равен

m*k k*n

сумме произведений элементов i-той строки матрицы А на соответствующие элементы j-того столбца матрицы В:

k

cij = ∑ aisbis; i=1,2,…,m; j=1,2,…,n.

s=1

4. Транспонирование матрицы – переход от матрицы А к матрице Аا , в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка

aاij = aji; i= 1,…,m; j= 1,…,n.

Свойства операции транспонирования:

(A')'=A; (λΑ)'=λΑ'; (A+B)'=A'+B'; (AB)'=B'A'.

 

5. Возведение квадратной матрицы А в целую положительную степень m (m>1):

Am = A*A …A.

m раз

6. Следом trA квадратной матрицы А называется сумма её диагональных

n

элементов: trA = ∑ aij

i=1

7. Матрица А-1 ,обратная к квадратной матрице А, - такая матрица,что

А-1 А = А-1А=Е,где Е-единичная матрица того же порядка.

Свойства обратных матриц:

-1)-1=А; (АВ)-1= В-1А-1; (А-1)′ = (А′)-1.

При умножении матриц обратите внимание на следующее:

1) Произведение матриц некоммутативно,т.е. АВ=ВА.Если АВ существует, то ВА – не обязательно. Даже если оба произведения существуют и представляют матрицы одного размера, то в общем случае АВ=ВА.

 

2) В равенствах АЕ=А и ЕА=А ,где А – матрица размера m*n,Е-единичная матрица:в первом равенстве-n-ого порядка,во втором равенстве-m-го порядка.

Определители квадратных матриц.

Обратная матрица.

1. Определитель квадратной матрицы 2-го порядка вычисляется по формуле:

а11 а12

2 = |А|‌‌‌‌ = = а11а22 – а12а21

а21 а22

2. Определитель квадратной матрицы 3-го порядка может быть вычислен по правилу треугольников, или по правилу Сарруса.

а11 а12 а13

3 = ‌‌‌‌‌‌‌|А| = а21 а22 а23 = а11а22а33 + а21а32а13 + а12а23а31 – а31а22а13 -

а31 а32 а33

 

- а21 а12 а33 – а32 а23 а11,

где соответствующие произведения элементов берутся либо со знаком «+» (левая схема), либо со знаком «-» (правая схема)

а11 а12 а13

а21 а22 а23

а31 а32 а33

3. Определитель квадратной матрицы n-го порядка определяется более сложным образом. Он может быть вычислен по теореме Лапласа.

4. Алгебраическим дополнением Аij элемента аij матрицы n-ого порядка называется её минор Mij,т.е. определитель матрицы, полученной из матрицы А вычеркиванием i-той строки и j-ого столбца, взятый со знаком (-1)i+j:

Аij=(-1)i+j Mij.

5. Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:

n n

А = ∑ аіј Аіѕ = ∑ аsj Asj

6. Определитель треугольной и ,в частности, диагональной матрицы равен произведению её диагональных элементов.

7. Некоторые свойства определителей квадратных матриц:

А) определитель не меняется при транспонировании матрицы;

В) определитель меняет знак, если поменять местами любые две строки (столбцы) матрицы;

С) определитель равен нулю, если: все элементы любой строки (или столбца) равны нулю;элементы любых двух строк (столбцов) пропорциональны либо D) определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на число, отличное от нуля.

8. Квадратная матрица А называется невырожденной или неособенной, если её определитель отличен от нуля, т.е. А = 0.

9. Обратная матрица А-1 существует тогда и только тогда, когда исходная матрица А невырожденная, т.е.‌ ∆А‌‌≠0. В этом случае её можно найти по формуле:

А-1 = 1/∆ *Ã,

где Ã- присоединенная матрица, элементы которой Аks=A'ks равны алгебраическим дополнениям элементов матрицы А', транспонированной к матрице А.







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.