Главная | Обратная связь

Матрицы и операции над ними.

1. Сложение (вычитание) матриц одинакового размера осуществляется поэлементно:

C=A+B,если с_ij = a_ij+b_ij; i=1,2,…,m; j=1,2,…,n.

2. Умножение матрицы на число- каждый элемент матрицы умножается на это число:

B = λA,если b_ij=λa_ij; i=1,2,…,m; j=1,2,…,n.

3. Умножение матрицы А на матрицу В определено,когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.Тогда произведением матрицы

А * В называется такая матрица С, каждый элемент c_ij которой равен

m*k k*n

сумме произведений элементов i-той строки матрицы А на соответствующие элементы j-того столбца матрицы В:

k

c_ij = ∑ a_isb_is; i=1,2,…,m; j=1,2,…,n.

s=1

4. Транспонирование матрицы – переход от матрицы А к матрице А^ا , в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка

aاij = a_ji; i= 1,…,m; j= 1,…,n.

Свойства операции транспонирования:

(A')'=A; (λΑ)'=λΑ'; (A+B)'=A'+B'; (AB)'=B'A'.

 

5. Возведение квадратной матрицы А в целую положительную степень m (m>1):

A^m = A*A …A.

m раз

6. Следом trA квадратной матрицы А называется сумма её диагональных

n

элементов: trA = ∑ a_ij

i=1

7. Матрица А^-1 ,обратная к квадратной матрице А, - такая матрица,что

А^-1 А = А^-1А=Е,где Е-единичная матрица того же порядка.

Свойства обратных матриц:

(А^-1)^-1=А; (АВ)^-1= В^-1А^-1; (А^-1)′ = (А′)^-1.

При умножении матриц обратите внимание на следующее:

1) Произведение матриц некоммутативно,т.е. АВ=ВА.Если АВ существует, то ВА – не обязательно. Даже если оба произведения существуют и представляют матрицы одного размера, то в общем случае АВ=ВА.

 

2) В равенствах АЕ=А и ЕА=А ,где А – матрица размера m*n,Е-единичная матрица:в первом равенстве-n-ого порядка,во втором равенстве-m-го порядка.

Определители квадратных матриц.

Обратная матрица.

1. Определитель квадратной матрицы 2-го порядка вычисляется по формуле:

а₁₁ а₁₂

∆₂ = |А|‌‌‌‌ = = а₁₁а₂₂ – а₁₂а₂₁

а₂₁ а₂₂

2. Определитель квадратной матрицы 3-го порядка может быть вычислен по правилу треугольников, или по правилу Сарруса.

а₁₁ а₁₂ а₁₃

∆₃ = ‌‌‌‌‌‌‌|А| = а₂₁ а₂₂ а₂₃ = а₁₁а₂₂а₃₃ + а₂₁а₃₂а₁₃ + а₁₂а₂₃а₃₁ – а₃₁а₂₂а₁₃ -

а₃₁ а₃₂ а₃₃

 

- а₂₁ а₁₂ а₃₃ – а₃₂ а₂₃ а₁₁,

где соответствующие произведения элементов берутся либо со знаком «+» (левая схема), либо со знаком «-» (правая схема)

а₁₁ а₁₂ а₁₃

а₂₁ а₂₂ а₂₃

а₃₁ а₃₂ а₃₃

3. Определитель квадратной матрицы n-го порядка определяется более сложным образом. Он может быть вычислен по теореме Лапласа.

4. Алгебраическим дополнением А_ij элемента а_ij матрицы n-ого порядка называется её минор M_ij,т.е. определитель матрицы, полученной из матрицы А вычеркиванием i-той строки и j-ого столбца, взятый со знаком (-1)^i+j:

А_ij=(-1)^i+j M_ij.

5. Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:

n n

А = ∑ а_іј А_іѕ = ∑ а_sj A_sj

6. Определитель треугольной и ,в частности, диагональной матрицы равен произведению её диагональных элементов.

7. Некоторые свойства определителей квадратных матриц:

А) определитель не меняется при транспонировании матрицы;

В) определитель меняет знак, если поменять местами любые две строки (столбцы) матрицы;

С) определитель равен нулю, если: все элементы любой строки (или столбца) равны нулю;элементы любых двух строк (столбцов) пропорциональны либо D) определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на число, отличное от нуля.

8. Квадратная матрица А называется невырожденной или неособенной, если её определитель отличен от нуля, т.е. А = 0.

9. Обратная матрица А^-1 существует тогда и только тогда, когда исходная матрица А невырожденная, т.е.‌ ∆А‌‌≠0. В этом случае её можно найти по формуле:

А^-1 = 1/∆ *Ã,

где Ã- присоединенная матрица, элементы которой А_ks=A'_ks равны алгебраическим дополнениям элементов матрицы А', транспонированной к матрице А.