Главная | Обратная связь

N-мерный вектор и векторное пространство. Евклидово пространство

1. п-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел х = (х₁, х_2,…, х_n), где х_i — i-я компонента век-

тора x(i= 1, ..., n).

Векторы х = (х_1, х₂, ..., х_n) и у = (у_1, у₂, ..., у_n) равны, т.е. x=у, ес­ли

х_i=y_i, (i=1,2,…,n).

Произведением вектора х = (х₁, х_2,…, х_n) на число λ называется вектор и = λx, если u_i= λx_i (i=1,2,…,n).

Суммой двух векторов x=(х_1, х₂, ..., х_n) и у =(у_1, у₂, ..., у_n) называ­ется вектор z= х + у, если z_i = x_i+y_i (i = 1,2, ..., n).

2. Векторным (линейным) пространством называется множество векторов (элементов) с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющим определенным¹ свойствам, (рассматривае­мым как аксиомы).

3. Вектор а_т называется линейной комбинацией векторов а₁,а₂, ...,a_m-1, если

а_m =λ₁a₁+λ₂a₂+…+λ_m-1a_m-1,

где- какие-то числа.

4. Векторы а_1, а₂, ..., а_т называются линейно зависимыми, есда существуют такие числаλ₁,λ₂,…,λ_m, не равные одновременно нулю что λ₁a₁+λ₂a₂+…+λ_ma_m=0.

если равенство выполняется только при λ₁=λ₂=…=λ_m ⁼ 0, то векторы а_1, а₂, ..., а_т называются линейно независимыми.

5. Размерность пространства — максимальное число содержа­лся в нем линейно независимых векторов.

Базисом п-мерного пространства называется совокупность п линейно независимых векторов.

Разложение вектора х по базису (е₁, е₂, ..., е_п):

х = x₁e₁ + x₂e₂+.. .+х_nе_n

где x₁, х₂, ..., х_п — координаты вектора.

6. Переход от старого базиса (е₁, е₂, ..., е_n) к новому (е*₁, е*₂, ..., е*_п) задается матрицей перехода

a₁₁ a₂₁ … a_n1

А = a₁₂ a₂₂ … _an2

… … … …

a_n1 a_2n … a_nm

так, что е*₁ е₁

… = A'* …

е*_п е_п

Переход от координат x₁, х₂, ..., х_п вектора х относительно старого базиса к координатам вектора х*₁, х*₂, ..., х*_n относительно нового ба­зиса осуществляется по формулам:

х*₁ x₁

х*₂ x₂

… = A^{-1 …}

х*_n x_n

или x₁ х*₁

x₂ х*₂

… = A …

x_n х*_n

 

где А — матрица перехода.

7. Скалярным произведением двух векторов х = (х₁, х_2,…, х_n) и у = (у_1, у₂, ..., у_n) называется число

(х, у) = х₁у₁ +х₂у₂ +… + х_пу_n=∑ x_iy_i

8. Евклидовым пространством называется линейное (векторное) пространство, в котором задано скалярное произведение векторов удовлетворяющих определенным¹ свойствам.

Длиной (нормой) вектора х в евклидовом пространстве называется число

|х| = x,x =x₁²+x₂²+…+x_n².

9. Угол φ между векторами х и у определяется равенством:

cos φ=(x,y)/|x| |y|,

где 0 < φ < п.

10. Два вектора x, у называются ортогональными, если (x, у) = 0. Векторы е₁, е₂, ..., е_n n-мерного евклидова пространства образуют

ортогональный базис, если (е_i,e_j) = 0 при i≠j— ортонормирован-ный базис, если (е_i,e_j) = 0 при и i≠j и e_i = 1 при i= 1, 2, ..., п.

Линейные операторы

1. Если задан закон (правило), по которому каждому вектору х пространства Rⁿставится в соответствие единственный вектор у про­странства R^m, то говорят, что задан оператор (преобразование, ото­бражение) А(х), действующий из Rⁿ в R^m: у = А(х).

Рассматриваем случай, когда пространства Rⁿ и R^m совпадают.

2. Оператор А называется линейным, если для любых векторов x, у пространства Rⁿ и любого числа λ верны соотношения:

А(х+y)=A(x)+А(у),

А(λх) = λА(х).

3. Вектор у = А(х) называется образом вектора x, а сам вектор х — прообразом вектора у.

Связь между вектором х и его образом у= А(х) может быть пред­ставлена в виде:

У = Ах,где А — матрица линейного оператора; х = (x_ux₂ ..., х_n)' , y=(y₁,y₂,…,y_n)' векторы, записываемые в виде вектор-столбцов.

4. Сумма и произведение линейных операторов, а также произве дение линейного оператора на число определяются равенствами:

(Ấ+B)(х) = Ấ(х)+ В(х),

(ẤB)(х)=Ấ(В(х)),

λẤ(х)=λ(Ấ(х)).

5. Нулевым О(х) и тождественным Е(х) называются операторы, действующие по правилу:

О(х) = О,

Е(х) = х.

6. Матрицы А и А* линейного оператора Ấ в базисах (в₁, е₂, …, е_п) и (е₁,е*_г, ..., е*_n) связаны соотношением: А*=C^-1АС,

где С — матрица перехода от старого базиса к новому¹.