Здавалка
Главная | Обратная связь

N-мерный вектор и векторное пространство. Евклидово пространство



1. п-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел х = (х1, х2,…, хn), где хi — i-я компонента век-

тора x(i= 1, ..., n).

Векторы х = (х1, х2, ..., хn) и у = (у1, у2, ..., уn) равны, т.е. x=у, ес­ли

хi=yi, (i=1,2,…,n).

Произведением вектора х = (х1, х2,…, хn) на число λ называется вектор и = λx, если ui= λxi (i=1,2,…,n).

Суммой двух векторов x=(х1, х2, ..., хn) и у =(у1, у2, ..., уn) называ­ется вектор z= х + у, если zi = xi+yi (i = 1,2, ..., n).

2. Векторным (линейным) пространством называется множество векторов (элементов) с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющим определенным1 свойствам, (рассматривае­мым как аксиомы).

3. Вектор ат называется линейной комбинацией векторов а12, ...,am-1, если

аm1a12a2+…+λm-1am-1,

где- какие-то числа.

4. Векторы а1, а2, ..., ат называются линейно зависимыми, есда существуют такие числаλ12,…,λm, не равные одновременно нулю что λ1a12a2+…+λmam=0.

если равенство выполняется только при λ12=…=λm = 0, то векторы а1, а2, ..., ат называются линейно независимыми.

5. Размерность пространства — максимальное число содержа­лся в нем линейно независимых векторов.

Базисом п-мерного пространства называется совокупность п линейно независимых векторов.

Разложение вектора х по базису (е1, е2, ..., еп):

х = x1e1 + x2e2+.. .+хnеn

где x1, х2, ..., хп — координаты вектора.

6. Переход от старого базиса (е1, е2, ..., еn) к новому (е*1, е*2, ..., е*п) задается матрицей перехода

a11 a21 … an1

А = a12 a22 an2

… … … …

an1 a2n … anm

так, что е*1 е1

… = A'* …

е*п еп

Переход от координат x1, х2, ..., хп вектора х относительно старого базиса к координатам вектора х*1, х*2, ..., х*n относительно нового ба­зиса осуществляется по формулам:

х*1 x1

х*2 x2

… = A-1 …

х*n xn

или x1 х*1

x2 х*2

… = A …

xn х*n

 

где А — матрица перехода.

7. Скалярным произведением двух векторов х = 1, х2,…, хn) и у = (у1, у2, ..., уn) называется число

(х, у) = х1у12у2 +… + хпуn=∑ xiyi

8. Евклидовым пространством называется линейное (векторное) пространство, в котором задано скалярное произведение векторов удовлетворяющих определенным1 свойствам.

Длиной (нормой) вектора х в евклидовом пространстве называется число

|х| = x,x =x12+x22+…+xn2.

9. Угол φ между векторами х и у определяется равенством:

cos φ=(x,y)/|x| |y|,

где 0 < φ < п.

10. Два вектора x, у называются ортогональными, если (x, у) = 0. Векторы е1, е2, ..., еn n-мерного евклидова пространства образуют

ортогональный базис, если (еi,ej) = 0 при i≠j— ортонормирован-ный базис, если (еi,ej) = 0 при и i≠j и ei = 1 при i= 1, 2, ..., п.

Линейные операторы

1. Если задан закон (правило), по которому каждому вектору х пространства Rnставится в соответствие единственный вектор у про­странства Rm, то говорят, что задан оператор (преобразование, ото­бражение) А(х), действующий из Rn в Rm: у = А(х).

Рассматриваем случай, когда пространства Rn и Rm совпадают.

2. Оператор А называется линейным, если для любых векторов x, у пространства Rn и любого числа λ верны соотношения:

А(х+y)=A(x)+А(у),

А(λх) = λА(х).

3. Вектор у = А(х) называется образом вектора x, а сам вектор х прообразом вектора у.

Связь между вектором х и его образом у= А(х) может быть пред­ставлена в виде:

У = Ах,где А — матрица линейного оператора; х = (xux2 ..., хn)' , y=(y1,y2,…,yn)' векторы, записываемые в виде вектор-столбцов.

4. Сумма и произведение линейных операторов, а также произве дение линейного оператора на число определяются равенствами:

(Ấ+B)(х) = Ấ(х)+ В(х),

(ẤB)(х)=Ấ(В(х)),

λẤ(х)=λ(Ấ(х)).

5. Нулевым О(х) и тождественным Е(х) называются операторы, действующие по правилу:

О(х) = О,

Е(х) = х.

6. Матрицы А и А* линейного оператора в базисах 1, е2, …, еп) и 1,е*г, ..., е*n) связаны соотношением: А*=C-1АС,

где С — матрица перехода от старого базиса к новому1.







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.