Главная | Обратная связь

Определение производной.

1. Производной функции y = f(x) называется конечный предел приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (при условии, что этот предел существует):

Δy f (x+Δx) – f (x)

y' = f'(x) = lim ― = lim ―――――― .

^Δx→0 Δx ^Δx→0 Δx

Если функция в точке x₀ (или на промежутке Х) имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке (или на промежутке Х).

2. Если функция y = f ' (x) дифференцируема в точке х₀ (или на промежутке Х), то она в этой точке непрерывна (или на промежутке Х). Если функция непрерывна в данной точке, то она не обязательно дифференцируема в этой точке.

 

 

Правила дифференцирования.

Производные элементарных функций.

Еренцирование явных функций

Правила дифференцирования:

с – постоянная, u = u (х), v = v (х) – дифференцируемые функции:

 

с' = 0; (7.2) (uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'; (7.7)

 

х'= 1; (7.3) u'v - uv'

( u/ v)' = ―――――, v (х) ≠ 0; (7.8)

(u ± v)' = u' + v'; (7.4) v²

 

(u v)' = u'v + uv'; (7.5) сv

(с/ v)' = - ― , v (х) ≠ 0 (7.9)

(сu)' = сu'; (7.6) v²

 

Производная сложной функции. Если y = f (u), u = u (x), т.е. y = f [u (x)], где f (u) и u (x) имеют производные, то

y'= f ' (u) · u ' . (7.10)

Производная обратной функции. Если y = f (x) ― дифференцируемая и строго монотонная функция на промежутке Х, то функция, обратная к данной х = φ(y), также дифференцируема и ее производная определяется соотношением:

x'_y = ― , y'_x ≠ 0 . (7.11)

y'_x

Логарифмическая производная. Логарифмической производной функции y = f (x) называется производная от логарифма этой функции, т.е.

y' f'(x)

(lny)' = ― = ―― . (7.12)

Y f(x)

Формулы дифференцирования основных элементарных функций:

1 .(xⁿ)' = nx ^n-1; 7. (cos x)' = -sin x ;

1 1

2. (√x)' = ― , (х >0); 8. (tg x)' = ―― ;

2√x cos² x

3 .(e^x)' = e^x ; 9. (ctg x)'= - ―― ;

sin² x

(а^х)' = a^x 1na ; 1

10. (arcsin x)' = ――, (׀x׀<1);

√1-х²

4. (1nx)' = 1/х , (x>0); 1

11. (arccos x)' = - ――, (׀x׀<1);

√1-х²

5. (1og_ax)' = ―― , (х > 0, а >0); 12. (arctg x)' = 1/(1+х²) ;

Х1na

6. (sin x)' = cos x ; 13. (arcctg х)' = 1/ (1+х²).

2. Дифференцирование неявных функций

Если зависимость между х и у задана в неявной форме уравнением F(x,y)=0, то для нахождения производной функции у необходимо продифференцировать по х обе части данного уравнения, рассматривая у как функцию от х. Из полученного уравнения первой степени (относительно у') находится у' .

Производные высших порядков.

Производной n-го порядка называется производная от производной (n - 1)-го порядка. Производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием данной функции:

у" = (у')' ; у"' = (у")' ; … ; у⁽ⁿ⁾ = (у^(n-1))' . (7.28)

если функция задана парамнтрически, то:

 

(у'_x)'_t (у"_xx)'_t (у^(n-1)_x)'_t

у"_xx = ―― ; у"'_xxx = ――― ; … ; у⁽ⁿ⁾_х = ――― .

х'_t х'_t х'_t

Геометрические и механические приложения производной.

1. Геометрический смысл производной. Если кривая задана уравнением у =f(x) или F(х,у) = 0, то f' (х₀) = tg α есть угловой коэффициент касательной (тангенс угла ее наклона с положительным направлением оси абсцисс).

Уравнением касательной к кривой у = f (х) в точке х₀ имеет вид:

 

y-f (x₀) = f '(x₀)(x-x₀), (7.30)

 

а уравнение нормали:

у – f (x₀) = - ―― (х – х₀). (7.31)

f'(x₀)

 

Углом между двумя кривыми у = f₁ (х), у = f₂ (х) в точке их пересечения М₀(х₀, у₀) называется угол между касательными к этим кривым в точке М₀, тангенс которого находится по формуле:

f'₂(х₀) - f'₁(х₀)

Tgφ = ―――――― . (7.32)

1+ f'₁(x₀)·f'₂(x₀)

 

2. Механический смысл производной. Если точка движется по закону s=s(t), где s – путь, t – время, то s'(t) представляет скорость изменения пути в момент t. Вторая производная пути по времени s"(t)=[s'(t)]'=ν'(t) есть скорость изменения скорости или ускорение точки в момент t.