Определение производной.
1. Производной функции y = f(x) называется конечный предел приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (при условии, что этот предел существует): Δy f (x+Δx) – f (x) y' = f'(x) = lim ― = lim ―――――― . Δx→0 Δx Δx→0 Δx Если функция в точке x0 (или на промежутке Х) имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке (или на промежутке Х). 2. Если функция y = f ' (x) дифференцируема в точке х0 (или на промежутке Х), то она в этой точке непрерывна (или на промежутке Х). Если функция непрерывна в данной точке, то она не обязательно дифференцируема в этой точке.
Правила дифференцирования. Производные элементарных функций. Еренцирование явных функций Правила дифференцирования: с – постоянная, u = u (х), v = v (х) – дифференцируемые функции:
с' = 0; (7.2) (uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'; (7.7)
х'= 1; (7.3) u'v - uv' ( u/ v)' = ―――――, v (х) ≠ 0; (7.8) (u ± v)' = u' + v'; (7.4) v2
(u v)' = u'v + uv'; (7.5) сv (с/ v)' = - ― , v (х) ≠ 0 (7.9) (сu)' = сu'; (7.6) v2
Производная сложной функции. Если y = f (u), u = u (x), т.е. y = f [u (x)], где f (u) и u (x) имеют производные, то y'= f ' (u) · u ' . (7.10) Производная обратной функции. Если y = f (x) ― дифференцируемая и строго монотонная функция на промежутке Х, то функция, обратная к данной х = φ(y), также дифференцируема и ее производная определяется соотношением: x'y = ― , y'x ≠ 0 . (7.11) y'x Логарифмическая производная. Логарифмической производной функции y = f (x) называется производная от логарифма этой функции, т.е. y' f'(x) (lny)' = ― = ―― . (7.12) Y f(x) Формулы дифференцирования основных элементарных функций: 1 .(xn)' = nx n-1; 7. (cos x)' = -sin x ; 1 1 2. (√x)' = ― , (х >0); 8. (tg x)' = ―― ; 2√x cos2 x 3 .(ex)' = ex ; 9. (ctg x)'= - ―― ; sin2 x (ах)' = ax 1na ; 1 10. (arcsin x)' = ――, (׀x׀<1); √1-х2 4. (1nx)' = 1/х , (x>0); 1 11. (arccos x)' = - ――, (׀x׀<1); √1-х2 5. (1ogax)' = ―― , (х > 0, а >0); 12. (arctg x)' = 1/(1+х2) ; Х1na 6. (sin x)' = cos x ; 13. (arcctg х)' = 1/ (1+х2).
2. Дифференцирование неявных функций Если зависимость между х и у задана в неявной форме уравнением F(x,y)=0, то для нахождения производной функции у необходимо продифференцировать по х обе части данного уравнения, рассматривая у как функцию от х. Из полученного уравнения первой степени (относительно у') находится у' . Производные высших порядков. Производной n-го порядка называется производная от производной (n - 1)-го порядка. Производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием данной функции: у" = (у')' ; у"' = (у")' ; … ; у(n) = (у(n-1))' . (7.28) если функция задана парамнтрически, то:
(у'x)'t (у"xx)'t (у(n-1)x)'t у"xx = ―― ; у"'xxx = ――― ; … ; у(n)х = ――― . х't х't х't Геометрические и механические приложения производной. 1. Геометрический смысл производной. Если кривая задана уравнением у =f(x) или F(х,у) = 0, то f' (х0) = tg α есть угловой коэффициент касательной (тангенс угла ее наклона с положительным направлением оси абсцисс). Уравнением касательной к кривой у = f (х) в точке х0 имеет вид:
y-f (x0) = f '(x0)(x-x0), (7.30)
а уравнение нормали: у – f (x0) = - ―― (х – х0). (7.31) f'(x0)
Углом между двумя кривыми у = f1 (х), у = f2 (х) в точке их пересечения М0(х0, у0) называется угол между касательными к этим кривым в точке М0, тангенс которого находится по формуле: f'2(х0) - f'1(х0) Tgφ = ―――――― . (7.32) 1+ f'1(x0)·f'2(x0)
2. Механический смысл производной. Если точка движется по закону s=s(t), где s – путь, t – время, то s'(t) представляет скорость изменения пути в момент t. Вторая производная пути по времени s"(t)=[s'(t)]'=ν'(t) есть скорость изменения скорости или ускорение точки в момент t. ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|