Примеры решения задач по колебаниям и волнам
Задача 1. Материальная точка массой 10 г совершает гармоническое колебание с периодом Т=1 с. Определить амплитуду колебаний, максимальную скорость и ускорение колеблющейся точки, если полная энергия точки равна 0,02 Дж.
Решение: Уравнение гармонического колебания запишем в виде: (1) где х - смещение материальной точки от положения равновесия; Скорость колеблющейся точки среды определяется как первая производная от смещения по времени: Максимальное значение скорости: Ускорение точки определяется как производная от скорости по времени: Максимальное значение ускорения: Полная энергия складывается из кинетической и потенциальной энергии и равна максимальной потенциальной или максимальной кинетической энергии: Круговая частота связана с периодом: . Тогда: Из этого выражения найдем амплитуду: Проверим размерность: Произведем вычисления: Ответ: А = 0,32 м, Vmax = 2 м/с, amax = 12,6 м/с2
Задача 2. Найти амплитуду и начальную фазу гармонического колебания, полученного от сложения одинаково направленных гармонических колебаний, данных уравнениями: x1 = 0,02cos (5πt + π/2) м и x2 = 0,03cos (5πt + π/4) м. Построить векторную диаграмму сложения амплитуд. Дано: x1 = 0,02cos (5πt + π/2) x2 = 0,03cos (5πt + π/4) Найти: А, α. Дать векторную диаграмму. Решение: Построить векторную диаграмму - это значит представить колебание в виде вектора, длина которого равна амплитуде колебаний, а угол наклона к оси абсцисс равен начальной фазе колебаний. При вращении вектора с угловой скоростью ω проекция его конца на ось будет совершать гармонические колебания. Из условия задачи А1=0,02 м = 2 см, α1= π/2, А2=0,03 м = 3 см, α2 = π/4. Векторная диаграмма изображена на рисунке 5. Результирующую амплитуду найдем по теореме косинусов: Начальная фаза результирующего колебания находится из формулы: Вычисления: Ответ: А = 4,6 м; α=62о 46′.
Задача 3. Период затухающих колебаний Т = 4 с, логарифмический декремент затухания χ = 1,6; начальная фаза равна нулю. Смещение точки в начальный момент времени равно 4,5 см. Написать уравнение колебаний и найти смещение точки в момент времени спустя период.
Решение: Уравнение затухающих колебаний имеет вид: (1) где β - коэффициент затухания, Найдем ω: Логарифмический декремент затухания связан с коэффициентом затухания: . Отсюда: Подставим ω, β, α в (1) и найдем смещение: Для начального момента времени при t = 0: Уравнение колебаний имеет вид: Смещение в момент :
Оптика ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|